信号与系统考研例题详解-信号系统考研例题解析

在信号与系统领域，考研是通往研究生深造的重要途径。信号与系统是数学与工程科学的交叉学科，涉及信号的表示、变换、分析以及系统的行为分析等内容。其核心内容包括信号的时域与频域表示、系统响应、拉普拉斯变换、Z变换、傅里叶变换等。考研题目通常以理论分析、系统设计、信号处理和数学推导为主，考察学生对信号与系统基本概念的掌握程度以及应用能力。
也是因为这些，对信号与系统考研例题的深入解析，有助于考生系统掌握知识体系，提升解题能力。本文将结合考研常见题型，详细解析相关例题，帮助考生更好地应对考试。

一、信号与系统考研例题概述 信号与系统是考研数学与电子工程类专业的重要课程，其内容涵盖信号的表示、变换、分析以及系统的行为分析。考研题目通常以理论分析、系统设计、信号处理和数学推导为主，考察学生对信号与系统基本概念的掌握程度以及应用能力。 在考研中，常见的题型包括：
1.信号的时域与频域表示分析：如求信号的傅里叶变换、拉普拉斯变换等。
2.系统响应分析：如求系统零状态响应、零输入响应、全响应等。
3.系统稳定性与因果性判断：如根据系统方程判断系统是否稳定、因果。
4.系统稳定性与收敛性分析：如根据拉普拉斯变换的收敛域判断系统稳定性。
5.系统设计与变换应用：如设计滤波器、变换信号等。 这些题型考查学生对信号与系统基本概念的理解，以及对数学工具的熟练应用能力。

二、信号与系统考研例题详解 2.1 信号的时域与频域表示分析 例题1 已知信号 $ x(t) = e^{-at} u(t) $，其中 $ a > 0 $，求其傅里叶变换 $ X(f) $。 解析 傅里叶变换的定义为： $$ X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt $$ 对于 $ x(t) = e^{-at} u(t) $，其傅里叶变换为： $$ X(f) = int_{0}^{infty} e^{-at} e^{-j2pi ft} dt = int_{0}^{infty} e^{-(a + j2pi f)t} dt $$ 计算积分得： $$ X(f) = frac{1}{a + j2pi f} $$ 归结起来说 本题考查学生对傅里叶变换的理解和应用，通过计算信号的傅里叶变换，判断其收敛性及频域特性。
2.2 系统响应分析 例题2 已知系统 $ H(s) = frac{1}{s + 1} $，求该系统的零状态响应 $ y_{zs}(t) $，初始状态为零。 解析 系统 $ H(s) = frac{1}{s + 1} $ 是一个一阶系统，其零状态响应可以通过拉普拉斯逆变换求得： $$ y_{zs}(t) = mathcal{L}^{-1}left{ frac{1}{s + 1} right} = e^{-t} $$ 归结起来说 本题考查学生对系统响应的计算能力，特别是拉普拉斯逆变换的应用。
2.3 系统稳定性与因果性判断 例题3 判断系统 $ H(s) = frac{s + 1}{(s + 2)(s + 3)} $ 是否稳定，并确定其是否为因果系统。 解析 系统稳定性取决于其拉普拉斯变换的收敛域（ROC）是否包含以虚轴为界、正实轴为界的圆。对于该系统： $$ H(s) = frac{s + 1}{(s + 2)(s + 3)} $$ 其分子为 $ s + 1 $，分母为 $ (s + 2)(s + 3) $，其根为 $ s = -2 $ 和 $ s = -3 $。
也是因为这些，系统是稳定的，因为其所有极点均在左半平面。 除了这些之外呢，系统为因果系统，因为其极点位于左半平面，且没有右半平面的极点，因此系统是因果的。 归结起来说 本题考查学生对系统稳定性和因果性的判断，通过极点分布判断系统特性。
2.4 系统设计与变换应用 例题4 设计一个低通滤波器，其截止频率为 $ f_c = 1 $ Hz，采样率 $ f_s = 10 $ Hz，要求滤波器的截止频率在 $ 0.5 $ Hz 附近。 解析 设计低通滤波器通常需要考虑采样定理，即采样率 $ f_s $ 必须大于等于两倍的最高频率 $ f_c $。本例中 $ f_s = 10 $ Hz，$ f_c = 1 $ Hz，满足采样定理。 为了设计低通滤波器，可以采用 Butterworth 滤波器设计方法，其传递函数为： $$ H(s) = frac{1}{1 + left( frac{s}{f_c} right)^{2n}} quad text{其中} quad n text{为滤波器阶数} $$ 根据实际需要选择适当的阶数 $ n $，例如 $ n = 1 $，则传递函数为： $$ H(s) = frac{1}{1 + left( frac{s}{1} right)^2} = frac{1}{1 + s^2} $$ 归结起来说 本题考查学生对滤波器设计的理解，特别是采样定理和滤波器类型的选择。
2.5 系统稳定性与收敛性分析 例题5 已知系统 $ H(s) = frac{1}{(s + 1)(s + 2)} $，求其收敛域，并判断系统是否稳定。 解析 系统 $ H(s) = frac{1}{(s + 1)(s + 2)} $ 的极点为 $ s = -1 $ 和 $ s = -2 $，均位于左半平面，因此系统是稳定的。 其收敛域为 $ text{Re}(s) > -2 $，即 $ |s| > 2 $，因此系统是稳定的。 归结起来说 本题考查学生对系统稳定性和收敛域的理解，通过极点分布判断系统稳定性。
2.6 信号处理与变换应用 例题6 已知信号 $ x(t) = cos(2pi t) $，求其傅里叶变换 $ X(f) $。 解析 傅里叶变换的定义为： $$ X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt $$ 对于 $ x(t) = cos(2pi t) $，其傅里叶变换为： $$ X(f) = frac{1}{2} left[ delta(f
- 1) + delta(f + 1) right] $$ 归结起来说 本题考查学生对信号傅里叶变换的理解，特别是三角函数的傅里叶变换。
2.7 系统稳定性与收敛性分析 例题7 已知系统 $ H(s) = frac{1}{s^2 + 2s + 5} $，求其收敛域，并判断系统是否稳定。 解析 系统 $ H(s) = frac{1}{s^2 + 2s + 5} $ 的极点为： $$ s = frac{-2 pm sqrt{4
- 20}}{2} = frac{-2 pm sqrt{-16}}{2} = -1 pm j2 $$ 极点位于复平面的左半平面，因此系统是稳定的。 其收敛域为 $ text{Re}(s) > -1 $，即 $ |s| > 1 $，因此系统是稳定的。 归结起来说 本题考查学生对系统稳定性和收敛域的理解，通过极点分布判断系统稳定性。

三、考研复习建议
1.扎实掌握基本概念：信号与系统的核心概念如信号、系统、响应、傅里叶变换、拉普拉斯变换等，是解题的基础。
2.熟练运用数学工具：拉普拉斯变换、Z变换、傅里叶变换等是解题的重要工具，必须熟练掌握。
3.多做例题和习题：通过大量练习，熟悉解题思路和方法，提高解题速度。
4.理解系统特性：如稳定性、因果性、收敛性等，是判断系统行为的关键。
5.关注题型变化：考研题目可能变化，需关注最新题型和题型变化趋势。

四、归结起来说 信号与系统是考研数学与电子工程类专业的核心课程，其内容涉及信号的表示、变换、分析以及系统的行为分析。考研题目通常以理论分析、系统设计、信号处理和数学推导为主，考查学生对基本概念的掌握程度和应用能力。通过系统解析例题，学生可以更好地理解信号与系统的理论基础和实际应用，提升解题能力，为考研做好充分准备。