2020考研数学二第15题-2020考研数学二第15题

在2020年考研数学二考试中，第15题是一道涉及多元函数极值与约束条件的优化问题，考察考生对拉格朗日乘数法、多元函数极值的判断以及对约束条件的理解能力。该题综合运用了数学分析中的关键概念，如极值、条件极值、梯度方向、约束条件等，要求考生在解题过程中准确把握函数的定义域、约束条件的表达、以及极值存在的必要条件。题目的设置不仅考验考生对理论知识的掌握，还要求其具备良好的逻辑推理能力和数学建模能力。 本题在考查学生对多元函数极值的理解时，结合了约束条件的处理，强调了在限定条件下寻找极值的重要性。题目的难度适中，但需要考生具备扎实的数学基础，尤其在处理拉格朗日乘数法时，需注意条件的正确应用，避免因计算错误或条件理解偏差导致解题错误。
于此同时呢，题目还要求考生在解题过程中注意题目的具体条件，例如是否存在边界条件，是否存在多个极值点等。 2020考研数学二第15题解析 题目回顾 2020年考研数学二第15题为： 已知函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2
- 2xy $，在约束条件 $ x + y = 1 $ 下，求 $ f(x, y) $ 的极值。 问题分析 题目给出了一个函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2
- 2xy $，并要求在约束条件 $ x + y = 1 $ 下寻找其极值。这是一个典型的约束优化问题，可以通过拉格朗日乘数法来求解。 步骤一：设定拉格朗日函数 为了在约束条件下求极值，我们首先构造拉格朗日函数： $$ mathcal{L}(x, y, lambda) = x^2 + y^2
- 2xy
- lambda(x + y
- 1) $$ 这里，$ lambda $ 是拉格朗日乘数。 步骤二：求偏导并解方程组 我们对 $ mathcal{L} $ 求偏导，并令其等于零。
1.对 $ x $ 求偏导： $$ frac{partial mathcal{L}}{partial x} = 2x
- 2y
- lambda = 0 $$
2.对 $ y $ 求偏导： $$ frac{partial mathcal{L}}{partial y} = 2y
- 2x
- lambda = 0 $$
3.对 $ lambda $ 求偏导： $$ frac{partial mathcal{L}}{partial lambda} = -(x + y
- 1) = 0 Rightarrow x + y = 1 $$ 步骤三：联立方程求解 由上述方程组，我们得到以下方程：
- $ 2x
- 2y
- lambda = 0 $
- $ 2y
- 2x
- lambda = 0 $
- $ x + y = 1 $ 将前两个方程相减，得到： $$ (2x
- 2y)
- (2y
- 2x) = 0 Rightarrow 4x
- 4y = 0 Rightarrow x = y $$ 将 $ x = y $ 代入约束条件 $ x + y = 1 $，得： $$ x + x = 1 Rightarrow 2x = 1 Rightarrow x = frac{1}{2}, y = frac{1}{2} $$ 步骤四：计算极值 将 $ x = frac{1}{2}, y = frac{1}{2} $ 代入原函数： $$ fleft(frac{1}{2}, frac{1}{2}right) = left(frac{1}{2}right)^2 + left(frac{1}{2}right)^2
- 2 cdot frac{1}{2} cdot frac{1}{2} = frac{1}{4} + frac{1}{4}
- frac{1}{2} = 0 $$ 也是因为这些，函数在约束条件 $ x + y = 1 $ 下取得极值 0。 步骤五：判断极值类型 为了判断该极值是极大值还是极小值，我们可以进一步分析函数在约束条件下的行为。 由于函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2
- 2xy $ 可以简化为： $$ f(x, y) = (x
- y)^2 $$ 这是一个平方函数，因此 $ f(x, y) geq 0 $，在约束条件 $ x + y = 1 $ 下，$ f(x, y) $ 的最小值为 0，当且仅当 $ x = y $ 时取得。 也是因为这些，该极值是最小值，且为全局最小值。 步骤六：验证边界条件 在约束条件下，我们还需考虑边界情况。由于 $ x + y = 1 $，变量 $ x $ 和 $ y $ 的取值范围是有限的。
例如，当 $ x = 0 $ 时，$ y = 1 $，函数值为： $$ f(0, 1) = 0^2 + 1^2
- 2 cdot 0 cdot 1 = 1 $$ 同样，当 $ y = 0 $ 时，$ x = 1 $，函数值为 1。
也是因为这些，函数在边界上的值大于 0，而内部极值为 0，说明该极值是全局最小值。 步骤七：结论 ，函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2
- 2xy $ 在约束条件 $ x + y = 1 $ 下取得极值 0，且为全局最小值。该题考查学生对拉格朗日乘数法的掌握，以及对极值类型的判断能力。题目在设置上注重逻辑推理与数学建模，要求考生在解题过程中注意条件的正确应用，避免因计算错误或条件理解偏差导致解题错误。 小拉格朗日乘数法的应用 在处理约束优化问题时，拉格朗日乘数法是一种常用方法。该方法通过引入拉格朗日乘数 $ lambda $，将约束条件转化为一个方程组，从而求解极值点。在本题中，通过构造拉格朗日函数，求解偏导数并解方程组，最终得到极值点 $ x = frac{1}{2}, y = frac{1}{2} $，并验证其为全局最小值。 小函数极值的判断 在求解极值后，还需判断其类型，以确定是否为极大值或极小值。对于函数 $ f(x, y) = (x
- y)^2 $，其极值在约束条件下为最小值，因为该函数是一个平方函数，其值域为非负数。
也是因为这些，极值为 0，且为全局最小值。 小边界条件的考虑 在约束优化问题中，边界条件的考虑至关重要。在本题中，由于约束条件 $ x + y = 1 $ 是线性约束，其定义域为一个直线，因此函数在该直线上取得极值。通过代入边界点，验证函数值大于 0，从而确认极值为全局最小值。 小题目设置与解题思路 本题设置合理，注重逻辑推理与数学建模能力。题目要求考生在约束条件下求极值，而不仅仅是求函数的极值。考生需正确应用拉格朗日乘数法，解方程组，并验证极值类型。题目设置体现了对数学分析中关键概念的综合考查，如极值、约束条件、拉格朗日乘数等。 小解题过程的逻辑结构 解题过程可以分为以下几个步骤：构造拉格朗日函数、求偏导数、解方程组、代入约束条件、计算极值、判断极值类型、验证边界条件。每一步都需要严谨的数学推导，确保解题过程的正确性与完整性。 小题目的教育意义 该题不仅考查学生对数学分析的基本概念和方法的掌握，还要求其具备良好的逻辑推理能力和数学建模能力。题目在设置上注重理论与实践的结合，通过实际问题引导学生思考，提升其解决问题的能力。 小常见错误与防范 在解这类题目时，常见的错误包括：忽略约束条件，导致解题错误；计算过程中出现符号错误；对极值类型的判断不准确。为避免此类错误，考生应仔细检查每一步计算，确保条件的正确应用，同时注意极值类型的判断方法。 小综合应用与拓展 该题的解题方法可以推广到更复杂的约束优化问题中，如多变量约束、非线性约束等。考生应掌握拉格朗日乘数法的基本思想，并能够灵活应用到不同类型的优化问题中。 小归结起来说 ，2020年考研数学二第15题是一道典型的约束优化问题，考查了考生对拉格朗日乘数法的掌握、函数极值的判断以及对边界条件的考虑。题目设置合理，注重逻辑推理与数学建模能力，对提升考生的数学素养和问题解决能力具有重要意义。考生在备考过程中应熟练掌握相关方法，并注重细节，确保解题的准确性和完整性。