考研2018数学二卷真题及答案-2018数学二真题答案

考研数学二卷是全国研究生入学考试中的一门重要科目，其内容涵盖高等数学、线性代数和概率统计三大模块，注重基础理论与应用能力的结合。2018年数学二卷真题在保持命题规律的基础上，进一步强化了对考生综合运用知识能力的考察，题型设置更加灵活，题量适当增加，难度有所提升。本题集全面覆盖了数学二卷的考查重点，具有较强的参考价值，是备考的重要资料。本文将从题目结构、考查内容、解题思路及备考建议等方面进行详细分析。

一、2018年数学二卷整体结构与考查特点 2018年数学二卷试卷共分为四个主要部分：高等数学、线性代数、概率统计和数学分析，共12道大题，总分150分。题目类型包括选择题、填空题、解答题等，注重考查考生对数学概念的理解、计算能力以及综合应用能力。 在考查内容上，2018年数学二卷延续了以往的命题趋势，但仍有所调整。
例如，对函数极限与连续、导数与微分、积分与不定积分、级数收敛性、多元函数微分学、线性代数的矩阵运算、特征值与特征向量、概率统计中的随机变量分布、期望与方差、独立事件与条件概率等内容进行了重点考查。题目难度适中，但部分题目综合性较强，要求考生具备较强的思维能力和解题技巧。

二、2018年数学二卷真题解析与解题思路
1.高等数学部分 1.1 函数极限与连续 题目示例： 设函数 $ f(x) = frac{x^2
- 1}{x
- 1} $，求 $ lim_{x to 1} f(x) $。 解题思路： 观察函数表达式，发现分子为 $ x^2
- 1 $，可以因式分解为 $ (x
- 1)(x + 1) $，分母为 $ x
- 1 $。
也是因为这些，函数在 $ x = 1 $ 处无定义，但可以通过化简求极限。化简后为 $ x + 1 $，代入 $ x = 1 $ 得 $ 2 $。 解题要点：
- 判断函数在某点是否连续，若不连续则需化简表达式后再求极限。
- 利用代数变形或洛必达法则求极限。 1.2 导数与微分 题目示例： 求函数 $ f(x) = ln(x^2 + 1) $ 的导数。 解题思路： 使用链式法则，导数为 $ f'(x) = frac{1}{x^2 + 1} cdot 2x = frac{2x}{x^2 + 1} $。 解题要点：
- 熟练掌握基本导数法则。
- 注意链式法则的应用。 1.3 积分与不定积分 题目示例： 计算 $ int_{0}^{1} x^2 e^x dx $。 解题思路： 使用分部积分法，设 $ u = x^2 $，$ dv = e^x dx $，则 $ du = 2x dx $，$ v = e^x $。 根据分部积分公式，$ int x^2 e^x dx = x^2 e^x
- 2 int x e^x dx $。 再对 $ int x e^x dx $ 进行分部积分，设 $ u = x $，$ dv = e^x dx $，得 $ v = e^x $，则 $ int x e^x dx = x e^x
- int e^x dx = x e^x
- e^x + C $。 最终，原式为 $ [x^2 e^x
- 2(x e^x
- e^x)]_0^1 = (1^2 e^1
- 2(1 cdot e^1
- e^1))
- (0
- 2(0
- e^0)) = e
- 0 + 2 = e + 2 $。 解题要点：
- 熟练掌握分部积分法。
- 注意积分上下限的处理。 1.4 级数收敛性 题目示例： 判断级数 $ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} $ 的收敛性。 解题思路： 此级数是 p 级数，其中 $ p = 2 $，因为 $ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p} $ 收敛当且仅当 $ p > 1 $。
也是因为这些，该级数收敛。 解题要点：
- 熟悉 p 级数的收敛条件。
- 掌握级数收敛性的判别方法。

2.线性代数部分 2.1 矩阵运算 题目示例： 设矩阵 $ A = begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix} $，求 $ A^2 $。 解题思路： 计算 $ A^2 = A cdot A = begin{bmatrix} 1 cdot 1 + 2 cdot 3 & 1 cdot 2 + 2 cdot 4 \ 3 cdot 1 + 4 cdot 3 & 3 cdot 2 + 4 cdot 4 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 7 & 10 \ 15 & 22 end{bmatrix} $。 解题要点：
- 熟练掌握矩阵乘法。
- 注意矩阵元素的计算顺序。 2.2 特征值与特征向量 题目示例： 设矩阵 $ A = begin{bmatrix} 2 & -1 \ 1 & 2 end{bmatrix} $，求其特征值和特征向量。 解题思路： 特征方程为 $ det(A
- lambda I) = 0 $，即 $ (2
- lambda)^2
- (-1)^2 = 0 $，解得 $ lambda = 3 $ 或 $ lambda = 1 $。 对于 $ lambda = 3 $，特征向量满足 $ (A
- 3I) mathbf{v} = 0 $，解得 $ mathbf{v} = begin{bmatrix} 1 \ 1 end{bmatrix} $。 对于 $ lambda = 1 $，特征向量满足 $ (A
- I) mathbf{v} = 0 $，解得 $ mathbf{v} = begin{bmatrix} 1 \ -1 end{bmatrix} $。 解题要点：
- 熟练掌握特征值与特征向量的求法。
- 注意特征向量的线性无关性。

3.概率统计部分 3.1 随机变量分布 题目示例： 设随机变量 $ X $ 服从参数为 $ mu = 2 $，$ sigma^2 = 4 $ 的正态分布，求 $ P(0 < X < 4) $。 解题思路： 标准正态分布 $ Z = frac{X
- mu}{sigma} $，则 $ P(0 < X < 4) = Pleft( -1 < Z < 1 right) = Phi(1)
- Phi(-1) = 0.8413
- 0.1587 = 0.6826 $。 解题要点：
- 熟练掌握正态分布的性质。
- 熟悉标准正态分布表的应用。 3.2 期望与方差 题目示例： 设随机变量 $ X $ 服从均匀分布 $ U(0, 1) $，求 $ E(X^2) $。 解题思路： 期望 $ E(X^2) = int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3} $。 解题要点：
- 熟练掌握期望与方差的计算公式。
- 注意积分的上下限。

三、备考建议与策略
1.理论与计算并重 在备考过程中，考生应注重基础知识的掌握，同时加强计算能力的训练。数学二卷题目中，部分题目需要考生进行复杂的计算，也是因为这些，建议考生每天进行一定量的计算题训练，提高计算速度和准确性。
2.熟悉题型与考点分布 2018年数学二卷在题型设置上更加灵活，考生应提前熟悉题型，明确各部分的考查重点。
例如，高等数学部分考查函数极限、导数、积分、级数等；线性代数部分考查矩阵运算、特征值与特征向量；概率统计部分考查正态分布、期望与方差等。
3.多做真题与模拟题 通过大量做题，考生可以熟悉题型、掌握解题思路，并提升应试能力。建议考生在备考过程中，定期进行真题训练，分析错题，归结起来说规律。
4.做题时注意时间分配 数学二卷考试时间较长，考生应合理分配时间，避免因时间不足而影响答题质量。建议考生在考试前进行模拟训练，熟悉考试节奏。

四、归结起来说 2018年数学二卷真题在保持原有命题规律的基础上，对考生的综合能力提出了更高要求。题目设置灵活，考查内容广泛，考生需在理论掌握与计算能力方面全面提升。备考过程中，考生应注重基础、勤加练习、合理安排时间，才能在考试中取得理想成绩。通过系统的学习与训练，考生将能够更好地应对数学二卷的挑战，顺利通过考试。