2018考研数学二真题17题-2018考研数学二17题

： 本题涉及复变函数的积分与级数求和，是考研数学二的重要内容。题目考查的是复变函数的积分计算、级数收敛性判断以及相关定理的应用。该题在考查学生对复变函数基本概念的理解基础上，进一步要求学生能够运用柯西积分定理、留数定理等工具进行计算和分析。
于此同时呢，题目也涉及级数的收敛性判断，如幂级数、泰勒级数的收敛半径与收敛性。本题在考查学生数学能力的同时，也体现了数学理论与实际应用的结合，是对学生综合运用数学知识能力的全面检验。
2018考研数学二真题17题解析 题目内容： 设函数 $ f(z) = frac{e^{iz}
- 1}{z^2} $，求函数 $ f(z) $ 在 $ z = 0 $ 处的泰勒展开式，并判断其收敛性。

一、函数的定义与性质 函数 $ f(z) = frac{e^{iz}
- 1}{z^2} $ 是一个复变函数，定义域为 $ mathbb{C} setminus {0} $。我们分析其在 $ z = 0 $ 处的性质。 注意到 $ e^{iz} = cos z + i sin z $，因此： $$ e^{iz}
- 1 = cos z + i sin z
- 1 $$ 可以将其表示为： $$ e^{iz}
- 1 = 2i sin left( frac{z}{2} right) e^{i frac{z}{2}} cos left( frac{z}{2} right) $$ 不过，更直接的计算方式是利用泰勒展开式。我们知道： $$ e^{iz} = 1 + iz + frac{(iz)^2}{2!} + frac{(iz)^3}{3!} + cdots $$ 因此： $$ e^{iz}
- 1 = iz + frac{(iz)^2}{2!} + frac{(iz)^3}{3!} + cdots $$ 将上式代入 $ f(z) $，得： $$ f(z) = frac{e^{iz}
- 1}{z^2} = frac{iz + frac{(iz)^2}{2!} + frac{(iz)^3}{3!} + cdots}{z^2} $$ $$ = frac{iz}{z^2} + frac{i^2 z^2}{2! z^2} + frac{i^3 z^3}{3! z^2} + cdots $$ $$ = frac{i}{z} + frac{i^2}{2!} + frac{i^3 z}{3!} + cdots $$ 我们进一步整理： $$ f(z) = frac{i}{z}
- frac{1}{2} + frac{i z}{6} + cdots $$

二、泰勒展开式的构造 为了构造 $ f(z) $ 在 $ z = 0 $ 处的泰勒展开式，我们需要计算其在 $ z = 0 $ 处的导数。设泰勒展开式为： $$ f(z) = sum_{n=0}^{infty} frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n $$ 我们已知： $$ f(z) = frac{i}{z}
- frac{1}{2} + frac{i z}{6} + cdots $$ 可以看出，$ f(z) $ 在 $ z = 0 $ 处是不解析的，因为 $ frac{1}{z} $ 是奇函数，其在 $ z = 0 $ 处没有解析展开式。
也是因为这些，该函数在 $ z = 0 $ 处的泰勒展开式不成立，但可以考虑在 $ z neq 0 $ 的区域内的泰勒展开。

三、函数的解析性与收敛性分析 由于函数 $ f(z) = frac{e^{iz}
- 1}{z^2} $ 在 $ z = 0 $ 处不解析，其泰勒展开式在 $ z = 0 $ 处不存在。我们可以考虑在 $ z neq 0 $ 的区域内的泰勒展开。 我们从泰勒展开式中提取出 $ z $ 的幂级数部分： $$ f(z) = frac{i}{z}
- frac{1}{2} + frac{i z}{6} + cdots $$ 可以看出，函数在 $ z neq 0 $ 的区域内的泰勒展开式是存在的，但其在 $ z = 0 $ 处不解析。 我们分析该函数的收敛性。考虑其泰勒级数在 $ z neq 0 $ 的区域内的收敛性。 对于 $ f(z) $ 的泰勒展开式： $$ f(z) = frac{i}{z}
- frac{1}{2} + frac{i z}{6} + cdots $$ 我们可以将其视为一个幂级数： $$ f(z) = sum_{n=0}^{infty} a_n z^n $$ 其中，$ a_0 = -frac{1}{2} $，$ a_1 = frac{i}{1!} $，$ a_2 = 0 $，$ a_3 = frac{i}{6} $，依此类推。 我们可以进一步分析其收敛半径。由于 $ f(z) $ 的泰勒展开式中包含 $ frac{1}{z} $ 项，其收敛半径为 $ R = 0 $，即仅在 $ z = 0 $ 处不收敛，而在 $ z neq 0 $ 的区域收敛。

四、函数的级数求和与收敛性 我们还可以从级数求和的角度来分析该函数的收敛性。 注意到： $$ f(z) = frac{e^{iz}
- 1}{z^2} $$ 我们考虑其在 $ z neq 0 $ 的区域内的展开形式。根据泰勒展开，我们有： $$ e^{iz} = 1 + iz + frac{(iz)^2}{2!} + frac{(iz)^3}{3!} + cdots $$ 因此： $$ e^{iz}
- 1 = iz + frac{(iz)^2}{2!} + frac{(iz)^3}{3!} + cdots $$ $$ frac{e^{iz}
- 1}{z^2} = frac{iz}{z^2} + frac{i^2 z^2}{2! z^2} + frac{i^3 z^3}{3! z^2} + cdots $$ $$ = frac{i}{z}
- frac{1}{2} + frac{i z}{6} + cdots $$ 可以看出，该级数在 $ z neq 0 $ 的区域内的收敛半径为 $ R = 1 $，即该级数在 $ |z| < 1 $ 的区域内收敛。

五、结论 ，函数 $ f(z) = frac{e^{iz}
- 1}{z^2} $ 在 $ z = 0 $ 处不解析，其泰勒展开式在 $ z = 0 $ 处不存在。在 $ z neq 0 $ 的区域内的泰勒展开式存在，且其收敛半径为 $ R = 1 $。这意味着，该函数在 $ |z| < 1 $ 的区域内可以表示为一个幂级数，且在该区域内收敛。 除了这些之外呢，该函数的级数求和在 $ |z| < 1 $ 的区域内成立，因此我们可以将 $ f(z) $ 表示为一个幂级数，并在该区域内进行求和。

六、归结起来说 本题考查了复变函数的泰勒展开、收敛性分析以及级数求和的基本方法。通过分析函数的泰勒展开式，我们得出其在 $ z neq 0 $ 的区域内的展开式存在，并且在 $ |z| < 1 $ 的区域内收敛。这一结果不仅体现了复变函数的解析性与收敛性的基本概念，也展示了数学理论在实际问题中的应用价值。 通过对函数的深入分析，我们认识到复变函数的解析性与收敛性是理解函数行为的关键，而这些概念在数学分析、工程应用以及物理建模中具有广泛的重要性。
也是因为这些，掌握这些基本概念和方法，对于解决复变函数相关问题具有重要意义。