2020考研数学一19题-2020考研数学一19题

在2020年考研数学一中，第19题是一道典型的微积分应用题，考查的是函数极值、导数的应用以及积分的应用能力。该题涉及函数的极值点、单调性、积分的计算以及实际意义的分析，综合性强，难度适中，适合考察学生的综合分析能力和数学建模能力。本题不仅要求学生对函数的导数进行深入分析，还需结合积分计算和实际问题进行转化，体现了数学在实际问题中的应用价值。该题在考查学生数学能力的同时，也强调了数学思维的严谨性和逻辑性，是考研数学一中一个具有代表性的题目。
2020考研数学一19题解析 题目内容： 设函数 $ f(x) = frac{e^{x}
- 1}{x} $，其中 $ x neq 0 $，求函数 $ f(x) $ 的极值点，并判断其极值的类型。

一、函数的定义与基本性质 我们对函数 $ f(x) = frac{e^{x}
- 1}{x} $ 进行分析。该函数在 $ x = 0 $ 处无定义，因此需要考虑其在 $ x neq 0 $ 时的定义域。函数的定义域为 $ (-infty, 0) cup (0, infty) $。 为了进一步分析函数的性质，我们计算其导数，以判断函数的单调性及极值点。导数的计算如下： $$ f'(x) = frac{d}{dx} left( frac{e^{x}
- 1}{x} right) $$ 使用商数法则： $$ f'(x) = frac{x cdot frac{d}{dx}(e^{x}
- 1)
- (e^{x}
- 1) cdot frac{d}{dx}(x)}{x^2} $$ $$ = frac{x cdot e^{x}
- (e^{x}
- 1)}{x^2} $$ $$ = frac{x e^{x}
- e^{x} + 1}{x^2} $$ $$ = frac{e^{x}(x
- 1) + 1}{x^2} $$

二、极值点的求解 为了找到函数的极值点，我们需要解方程 $ f'(x) = 0 $，即： $$ frac{e^{x}(x
- 1) + 1}{x^2} = 0 $$ 由于分母 $ x^2 $ 始终为正（$ x neq 0 $），所以只需解分子部分： $$ e^{x}(x
- 1) + 1 = 0 $$ $$ e^{x}(x
- 1) = -1 $$ 这是一个非线性方程，难以用代数方法直接求解。
也是因为这些，我们通过分析函数的单调性来寻找极值点。

三、函数的单调性分析 我们分析函数 $ f(x) $ 在 $ x > 0 $ 和 $ x < 0 $ 的单调性。
1.当 $ x > 0 $ 时 在 $ x > 0 $ 的区间内，我们考虑函数 $ f'(x) = frac{e^{x}(x
- 1) + 1}{x^2} $ 的符号。
- 当 $ x = 1 $ 时，$ e^{1}(1
- 1) + 1 = 0 + 1 = 1 > 0 $，因此 $ f'(1) > 0 $。
- 当 $ x > 1 $ 时，$ x
- 1 > 0 $，所以 $ e^{x}(x
- 1) > 0 $，因此 $ f'(x) > 0 $。
- 当 $ 0 < x < 1 $ 时，$ x
- 1 < 0 $，所以 $ e^{x}(x
- 1) < 0 $，因此 $ f'(x) = frac{e^{x}(x
- 1) + 1}{x^2} $。 我们进一步分析 $ f'(x) $ 在 $ 0 < x < 1 $ 的符号： 令 $ g(x) = e^{x}(x
- 1) + 1 $，求其在 $ 0 < x < 1 $ 的零点。 当 $ x to 0^+ $ 时，$ e^{x} approx 1 $，$ x
- 1 to -1 $，所以 $ g(x) approx 1 cdot (-1) + 1 = 0 $。 当 $ x to 1^
- $ 时，$ g(x) to e^{1}(0) + 1 = 1 > 0 $。 也是因为这些，函数 $ g(x) $ 在 $ 0 < x < 1 $ 上单调递增，且始终大于 0，因此 $ f'(x) > 0 $。 这表明函数 $ f(x) $ 在 $ x > 0 $ 区间内单调递增。
2.当 $ x < 0 $ 时 我们考虑 $ x < 0 $ 的区间内 $ f'(x) $ 的符号。 由于 $ x < 0 $，且 $ x^2 > 0 $，我们分析分子部分 $ e^{x}(x
- 1) + 1 $。 当 $ x < 0 $ 时，$ x
- 1 < -1 < 0 $，所以 $ e^{x}(x
- 1) < 0 $，因此 $ e^{x}(x
- 1) + 1 $ 的符号取决于其与 0 的关系。 令 $ h(x) = e^{x}(x
- 1) + 1 $，在 $ x < 0 $ 的区间内，我们分析其单调性。
- 当 $ x to 0^
- $ 时，$ h(x) to e^{0}(0
- 1) + 1 = -1 + 1 = 0 $。
- 当 $ x to -infty $ 时，$ e^{x} to 0 $，$ x
- 1 to -infty $，所以 $ h(x) to 0 cdot (-infty) + 1 = 1 $。 也是因为这些，函数 $ h(x) $ 在 $ x < 0 $ 区间内单调递增，且始终大于 0，因此 $ f'(x) > 0 $。 这表明函数 $ f(x) $ 在 $ x < 0 $ 区间内单调递增。

四、极值点的判断 从上述分析可知：
- 在 $ x > 0 $ 区间内，函数单调递增，无极值点。
- 在 $ x < 0 $ 区间内，函数单调递增，也无极值点。 也是因为这些，函数 $ f(x) $ 在整个定义域内没有极值点。

五、函数的极限分析 我们进一步分析函数在 $ x to 0 $ 时的行为。 $$ lim_{x to 0} f(x) = lim_{x to 0} frac{e^{x}
- 1}{x} $$ 使用洛必达法则： $$ lim_{x to 0} frac{e^{x}
- 1}{x} = lim_{x to 0} frac{e^{x}}{1} = 1 $$ 也是因为这些，函数在 $ x = 0 $ 处的极限为 1。

六、函数的图像与实际意义 函数 $ f(x) = frac{e^{x}
- 1}{x} $ 是一个经典的函数，其图像在 $ x > 0 $ 和 $ x < 0 $ 区间内分别单调递增，且在 $ x = 0 $ 处无定义。函数在 $ x to 0 $ 时趋近于 1，是一个连续函数。 从实际应用的角度来看，该函数可以用于描述某些物理或经济现象中的变化率，例如增长率、衰减率等。在微积分中，这类函数常用于研究函数的单调性、极值点和极限行为，是学习导数和积分应用的基础。

七、归结起来说与反思 2020年考研数学一第19题考查了学生对函数导数的计算、函数单调性的分析以及极值点的判断能力。通过分析函数的导数，我们发现该函数在 $ x > 0 $ 和 $ x < 0 $ 区间内均单调递增，且在定义域内没有极值点。
于此同时呢，函数在 $ x to 0 $ 时趋近于 1，体现了数学在极限和连续性方面的深刻内涵。 本题不仅考察了学生对微积分基本概念的理解，也强调了数学建模和实际问题分析的能力。在今后的学习中，学生应加强对函数导数、极限和连续性的理解，以应对更多类似的题目。
回顾
- 函数极值点：考查函数在定义域内是否存在极值点。
- 导数应用：通过导数判断函数的单调性。
- 微积分基础：分析函数的极限和连续性。
- 数学建模：将实际问题转化为数学模型进行分析。