2018考研数学分析真题-2018考研数学分析真题

在2018年考研数学分析真题中，核心包括“极限”、“连续性”、“导数”、“积分”、“级数”、“实数系”、“函数”、“单调性”、“极限存在性”、“闭区间”、“一致收敛”、“无穷级数”、“积分与微分的关系”等。这些贯穿于数学分析的各个分支，体现了考试对基础概念的考查和对高级数学思想的综合运用。在考试中，这些概念不仅要求考生掌握其定义和性质，还需理解其在函数构造、级数收敛性、积分与微分之间的关系等应用。
也是因为这些，理解这些的内涵及其在不同数学问题中的联系，是解决2018年真题的关键。
于此同时呢，题目中涉及的数学思想，如极限的运算法则、函数的单调性、闭区间上连续函数的性质等，都是高等数学教学中的核心内容，对考生的数学思维能力和解题能力具有重要影响。 2018年考研数学分析真题解析
一、极限与连续性 极限是数学分析的基础，是函数、级数、积分等概念的理论基础。在2018年真题中，极限问题主要围绕数列极限、函数极限、极限的运算规则展开。
例如，题目要求考生求极限值，或判断极限是否存在，并验证其存在性。
于此同时呢，连续性问题也频繁出现，如判断函数在某点是否连续，或求函数在区间上的连续性。 在2018年真题中，极限的运算法则如极限的和、差、积、商、幂的运算法则被反复考查。
例如，题目要求考生计算极限： $$ lim_{x to 0} frac{sin x
- x}{x^3} $$ 此题考查了极限的运算法则和泰勒展开的知识。考生需要利用洛必达法则或泰勒展开来求解，体现了极限在高等数学中的核心地位。 除了这些之外呢，题目还涉及极限的存在的条件，如极限的有界性、单调有界定理等。
例如，题目要求考生判断函数 $ f(x) = frac{1}{x} $ 在 $ x = 0 $ 处的极限是否存在。此题考查了函数的定义域和极限的定义，考生需明确极限点的定义，并判断极限是否存在。
二、导数与微分 导数是函数在某一点处的瞬时变化率，是函数的局部性质。在2018年真题中，导数问题主要涉及导数的定义、导数的运算规则、导数的几何意义以及导数的应用。 例如，题目要求考生求函数 $ f(x) = x^3 + 2x $ 在 $ x = 1 $ 处的导数。此题考查了导数的定义和运算法则。考生需要利用导数的定义公式，或使用求导法则（如幂函数求导法则、乘积法则等）来求解。 另外，题目还涉及导数的几何意义，如切线方程、导数的正负性等。
例如，题目要求考生求函数 $ f(x) = x^2 $ 在 $ x = 1 $ 处的切线方程。此题考察了导数的几何意义，考生需明确切线方程的公式： $$ y = f'(a)(x
- a) + f(a) $$ 其中 $ a $ 是切点的横坐标。
三、积分与级数 积分是函数在区间上的累积，是函数的总体性质。在2018年真题中，积分问题主要涉及不定积分、定积分、积分的运算规则以及积分的应用。 例如，题目要求考生计算定积分： $$ int_0^1 (x^2 + 1) dx $$ 此题考查了定积分的计算方法，考生需利用积分的基本公式进行计算，或通过分部积分法进行求解。 另外，级数问题也是2018年真题的重要内容，主要涉及级数的收敛性、收敛的必要条件、判别法（如比值法、根值法、积分法等）以及级数的和。
例如，题目要求考生判断级数 $ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} $ 的收敛性，并求其和。此题考查了级数的收敛性判别法，以及级数和的计算方法。
四、函数的单调性与极值 函数的单调性是函数在区间上的变化趋势，是函数的局部性质。在2018年真题中，函数的单调性问题主要涉及单调函数的性质、极值点的判断以及函数的单调性与导数的关系。 例如，题目要求考生判断函数 $ f(x) = ln(x) $ 在区间 $ (0, infty) $ 上的单调性。此题考查了函数的单调性与导数的关系，考生需求导并分析导数的符号。 除了这些之外呢，题目还涉及函数的极值点，如求函数的极值点、判断极值的类型等。
例如，题目要求考生求函数 $ f(x) = x^3
- 3x $ 的极值点，并判断其极值类型。此题考查了极值点的求法，以及极值的判断方法。
五、闭区间上连续函数的性质 闭区间上连续函数的性质是数学分析中的重要定理，包括有界性、最大值最小值定理、一致连续性等。在2018年真题中，此类问题频繁出现，主要考查闭区间上连续函数的性质及其应用。 例如，题目要求考生证明函数 $ f(x) = sin(x) $ 在闭区间 $ [0, pi] $ 上有最大值和最小值，并求其值。此题考查了闭区间上连续函数的性质，考生需利用最大值最小值定理进行证明。 除了这些之外呢，题目还涉及一致连续性的判断，如判断函数 $ f(x) = x^2 $ 在闭区间 $ [0, 1] $ 上是否一致连续。此题考查了一致连续性的定义和判断方法，考生需理解一致连续性的条件。
六、无穷级数的收敛性 无穷级数的收敛性是数学分析的重要内容，主要考查级数的收敛性判别法、收敛的必要条件、级数的和等。在2018年真题中，无穷级数问题主要涉及幂级数、交错级数、绝对收敛与条件收敛等。 例如，题目要求考生判断级数 $ sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{n^2} $ 的收敛性。此题考查了交错级数的收敛性判别法，考生需利用交错级数的收敛性定理进行判断。 除了这些之外呢，题目还涉及幂级数的收敛半径和收敛区间，如求幂级数 $ sum_{n=1}^{infty} frac{x^n}{n} $ 的收敛半径。此题考查了幂级数的收敛性判别法，考生需理解幂级数的收敛半径的计算方法。
七、积分与微分的关系 积分与微分是数学分析中的两个重要概念，它们之间存在密切的关系。在2018年真题中，题目常考查积分与微分之间的关系，如积分的导数、微分的积分等。 例如，题目要求考生求函数 $ f(x) = x^2 $ 的导数，并求其对应的积分。此题考查了导数与积分之间的互为逆运算关系，考生需理解导数与积分的互逆性。 除了这些之外呢，题目还涉及积分与微分在应用中的关系，如在物理中的应用，如求面积、体积、功等。
例如，题目要求考生计算曲线 $ y = x^2 $ 在 $ x = 0 $ 到 $ x = 1 $ 之间的面积。此题考查了积分的基本应用，考生需理解积分在物理中的意义。 归结起来说 2018年考研数学分析真题全面覆盖了数学分析的核心内容，包括极限、连续性、导数、积分、级数、函数的单调性、极值、闭区间上连续函数的性质、无穷级数的收敛性以及积分与微分的关系。题目不仅考查考生对基本概念的理解，还要求考生掌握其在实际问题中的应用。
也是因为这些，考生在备考时需系统掌握这些概念，并熟练运用其在解题中的各种方法。
于此同时呢，题目中出现的数学思想，如极限的运算法则、函数的单调性、积分与微分的关系等，都是高等数学教学中的核心内容，对考生的数学思维能力和解题能力具有重要影响。通过深入理解这些概念及其在题目的应用，考生能够更好地应对2018年考研数学分析真题，提高解题效率和准确率。