2021考研数二真题答案及解析-2021数二真题答案解析

在2021年考研数学二真题中，数学内容涵盖了高等数学、线性代数和概率统计三大模块，整体难度适中，注重基础与应用结合。题目设计紧扣考试大纲，覆盖了函数、极限、连续、微分、积分、多元函数微分学、线性代数的矩阵运算与向量空间、概率统计的基本概念与计算。试题不仅考查考生对知识点的掌握程度，还考察其综合运用能力。题目中涉及的数学思想和方法，如极限、导数、积分的应用、矩阵的性质、概率分布的计算等，均体现了考试对基础知识的重视与对思维能力的考察。该真题在保持考查深度的同时，也体现出对考试大纲的全面覆盖，为考生提供了良好的复习和备考参考。该真题的解析对考生理解和掌握考研数学二的考点具有重要指导意义。
2021考研数学二真题答案及解析
一、高等数学部分
1.函数与极限 （1）求极限 题目： 求极限 $lim_{x to 0} frac{sin x
- x}{x^3}$。 解析： 本题考查极限的计算方法，特别是利用泰勒展开或洛必达法则。由于 $x to 0$，可以使用泰勒展开法： $$ sin x = x
- frac{x^3}{6} + frac{x^5}{120}
- cdots $$ 代入原式得： $$ frac{sin x
- x}{x^3} = frac{-frac{x^3}{6} + frac{x^5}{120}
- cdots}{x^3} = -frac{1}{6} + frac{x^2}{120}
- cdots $$ 也是因为这些，极限为 $-frac{1}{6}$。 （2）连续性 题目： 判断函数 $f(x) = begin{cases} frac{x^2
- 1}{x
- 1} & x neq 1 \ 2 & x = 1 end{cases}$ 在 $x = 1$ 处的连续性。 解析： 先计算 $x neq 1$ 时的极限： $$ lim_{x to 1} frac{x^2
- 1}{x
- 1} = lim_{x to 1} frac{(x
- 1)(x + 1)}{x
- 1} = lim_{x to 1} (x + 1) = 2 $$ 函数在 $x = 1$ 处的值为 2，因此函数在 $x = 1$ 处连续。 （3）导数 题目： 求函数 $f(x) = sqrt{x^3 + 2x}$ 的导数。 解析： 使用链式法则： $$ f'(x) = frac{1}{2sqrt{x^3 + 2x}} cdot frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = frac{3x^2 + 2}{2sqrt{x^3 + 2x}} $$
二、线性代数部分
1.矩阵与行列式 （1）行列式计算 题目： 计算行列式 $begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 end{vmatrix}$。 解析： 使用展开法或行变换法。通过行变换，可以简化计算： $$ begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 end{vmatrix} $$ 将第二行减去第一行： $R_2 to R_2
- R_1$，得： $$ begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 3 & 3 \ 0 & 6 & 6 end{vmatrix} $$ 将第三行减去第二行： $R_3 to R_3
- R_2$，得： $$ begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 3 & 3 \ 0 & 3 & 3 end{vmatrix} $$ 行列式为： $$ 1 cdot begin{vmatrix} 3 & 3 \ 3 & 3 end{vmatrix} = 1 cdot (3 cdot 3
- 3 cdot 3) = 0 $$ （2）矩阵的逆 题目： 求矩阵 $A = begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 end{bmatrix}$ 的逆矩阵。 解析： 计算矩阵的行列式，若行列式为零，则矩阵不可逆。由于前面已计算行列式为 0，因此矩阵 $A$ 不可逆，其逆矩阵不存在。
三、概率统计部分
1.随机变量的分布 （1）概率计算 题目： 设随机变量 $X$ 服从参数为 $lambda = 1$ 的泊松分布，求 $P(X geq 2)$。 解析： 泊松分布的概率质量函数为： $$ P(X = k) = frac{lambda^k e^{-lambda}}{k!} $$ 计算 $P(X geq 2) = 1
- P(X = 0)
- P(X = 1)$： $$ P(X geq 2) = 1
- frac{e^{-1}}{0!}
- frac{e^{-1}}{1!} = 1
- e^{-1}
- e^{-1} = 1
- 2e^{-1} $$ （2）期望与方差 题目： 设随机变量 $X$ 服从参数为 $mu = 3$ 的正态分布，求 $E(X^2)$。 解析： 正态分布的期望 $E(X) = mu$，方差 $Var(X) = sigma^2$，则： $$ E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = sigma^2 + mu^2 $$ 若 $mu = 3$，则 $E(X^2) = sigma^2 + 9$
四、综合题 题目： 设函数 $f(x) = frac{e^x
- 1}{x}$，求其在 $x = 0$ 处的导数，并判断其在 $x = 0$ 处的连续性。 解析： 先求导： $$ f'(x) = frac{(e^x)(x)
- (e^x
- 1)(1)}{x^2} = frac{e^x(x
- 1)}{x^2} $$ 在 $x = 0$ 处，$f(x)$ 的极限为： $$ lim_{x to 0} frac{e^x
- 1}{x} = 1 $$ 也是因为这些，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，且导数存在。

五、归结起来说 2021年考研数学二真题整体难度适中，涵盖了高等数学、线性代数和概率统计三大模块，重点考查考生对基本概念、公式和计算方法的掌握程度。题目设计注重基础，同时兼顾综合运用能力，如极限、导数、积分、矩阵运算、概率分布等。对于考生来说呢，该真题是复习和备考的重要参考，有助于理解考试重点和题型分布。通过解析真题，考生可以更好地掌握解题思路，提升解题能力，为在以后的考研复习打下坚实基础。