2020考研数学一第12题-2020考研数学一第12题

在2020年考研数学一真题中，第12题是一道关于函数极限与连续性的综合题。题目考察了学生对极限定义、函数连续性的理解及应用能力，同时也涉及了函数在特定点的极限存在性判断。该题在考查学生对基本概念掌握的基础上，进一步要求学生运用数学工具进行逻辑推理和问题解决。题目本身具有一定的综合性，既考验了学生对极限理论的掌握，也要求学生具备良好的数学思维和严谨的解题方法。本题的解题过程需要学生能够准确识别题干中的关键信息，熟练运用极限的定义和相关定理，从而得出正确的结论。
也是因为这些，该题在考研数学一中具有较高的考察价值，能够有效检验学生的数学基础与解题能力。
2020考研数学一第12题详解
一、题目回顾与题干解析 2020年考研数学一第12题的题干如下： 设函数 $ f(x) $ 在区间 $ [0, 1] $ 上连续，且满足 $ f(0) = 1 $，$ f(1) = 0 $，且存在某个点 $ c in (0, 1) $ 使得 $ f(c) = 1 $。则函数 $ f(x) $ 在区间 $ [0, 1] $ 上的图像必有以下哪一种性质？ A. 有界 B. 单调递增 C. 有极值 D. 有连续导数 本题考察的是函数在区间上的连续性、极限性质以及函数图像的特性。题目给出的条件包括函数在区间端点处的值，以及函数在区间内存在某个点使得函数值等于初始值，这提示我们函数在该点附近可能存在某种特殊的性质。

二、题目解题思路 题目给出的条件是函数 $ f(x) $ 在区间 $ [0, 1] $ 上连续，且在端点 $ x = 0 $ 处的值为 $ f(0) = 1 $，在 $ x = 1 $ 处的值为 $ f(1) = 0 $。
于此同时呢，函数在区间内存在一个点 $ c in (0, 1) $，使得 $ f(c) = 1 $。 根据中间值定理（Intermediate Value Theorem），如果函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上连续，且 $ f(a) neq f(b) $，那么函数在区间内必定存在至少一个点 $ c in (a, b) $，使得 $ f(c) $ 等于介于 $ f(a) $ 和 $ f(b) $ 之间的任意值。本题中 $ f(0) = 1 $，$ f(1) = 0 $，因此 $ f(x) $ 在区间 $ [0, 1] $ 上的值从 1 降到 0，说明函数在区间内必然有某个点使得函数值等于 1，即 $ f(c) = 1 $，其中 $ c in (0, 1) $。 此条件提示我们，函数在区间 $ [0, 1] $ 上至少有一个点使得函数值等于初始值 1，这说明函数在该点附近可能存在某种极值或连续性上的特殊性质。

三、选项分析与解题过程 A. 有界 本题中函数在区间 $ [0, 1] $ 上连续，因此根据连续函数的定义，函数在该区间上一定有界。
也是因为这些，选项 A 是正确的。 B. 单调递增 题目中给出的条件是函数在 $ x = 0 $ 处的值为 1，在 $ x = 1 $ 处的值为 0，函数在区间内从 1 降到 0，这表明函数在区间上不是单调递增的。
也是因为这些，选项 B 是错误的。 C. 有极值 函数在区间 $ [0, 1] $ 上连续，根据极值定理，函数在闭区间上必有极值。
也是因为这些，选项 C 是正确的。 D. 有连续导数 题目中没有给出任何关于导数的信息，因此不能直接判断函数是否有连续导数。选项 D 是错误的。 ，选项 A 和 C 都是正确的。题目要求选择“必有”的性质，因此需要进一步分析。

四、进一步分析与结论 从题目给出的条件来看，函数在 $ x = 0 $ 处的值为 1，在 $ x = 1 $ 处的值为 0，且在区间内存在某个点 $ c in (0, 1) $，使得 $ f(c) = 1 $。这说明函数在区间 $ [0, 1] $ 上并不是单调递增的，也不是单调递减的，因此选项 B 是错误的。 同时，由于函数在区间上连续，根据极值定理，函数在闭区间上必有极值，因此选项 C 是正确的。

五、题目拓展与相关知识点 本题涉及的数学知识点包括：
1.连续函数的性质：连续函数在区间上必有界，且在闭区间上必有极值。
2.中间值定理：如果函数在区间上连续，且端点值不同，则函数在区间内必有某个点使得函数值等于介于端点值之间的任意值。
3.极值定理：连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。 这些知识点在考研数学一中是基础且重要的内容，熟练掌握这些知识有助于解题。

六、解题策略与方法 在解题过程中，需要注意以下几点：
1.审题仔细：题目中给出的条件是函数在区间上的连续性，以及端点处的值和某个点的函数值。
2.利用定理：题目中的条件提示我们使用中间值定理和极值定理。
3.排除法：通过排除错误选项，找到正确答案。
4.逻辑推理：结合题干信息，进行逻辑推理，得出结论。

七、归结起来说 2020年考研数学一第12题是一道综合题，考察了函数连续性、极限性质以及极值定理的应用。题目通过给出函数在区间端点处的值和某个点的函数值，引导学生运用数学定理进行推理，从而判断函数的性质。题目不仅考查了学生的数学基础，也锻炼了其逻辑推理和问题解决能力。 ，本题的正确答案是 A 和 C。在解题过程中，学生需要准确理解题目条件，熟练运用数学定理，并进行逻辑推理，才能得出正确的结论。

八、小节点与层次展示
- 题目解析：题目给出的条件和要求，引导学生进行解题。
- 选项分析：对每个选项进行逐一分析，判断其正确性。
- 解题策略：归结起来说解题过程中需要掌握的数学方法和技巧。
- 知识点归结起来说：列出本题涉及的数学知识点，帮助学生复习。

九、总的来说呢 2020年考研数学一第12题通过给出函数在区间上的连续性、端点值及某个点的函数值，考查了学生对连续函数性质、中间值定理和极值定理的理解与应用能力。本题不仅考察了基础数学知识，也要求学生具备良好的逻辑推理能力，从而在考试中取得好成绩。通过本题的解题过程，学生可以更好地掌握相关数学知识，提升解题能力。