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2004年考研数学二第20题中，涉及的是微积分中的多元函数极值问题，重点考察了函数在闭区间上的极值判定方法，尤其是利用极值点与导数的关系来判断极值的存在性。该题考查了学生对极值点、导数、连续性以及闭区间上函数性质的理解，同时也要求学生能够将这些数学概念应用到具体问题中，进行逻辑推理和数学证明。该题在考试中具有较高的难度，不仅需要扎实的数学基础，还需要良好的逻辑思维能力。在解题过程中，学生需要明确题目的条件，分步骤进行分析，最终得出正确的结论。该题的综合性较强，是考生在备考过程中需要重点掌握的典型题目之一。
2004年考研数学二第20题解析
题目内容
设函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy $，求 $ f(x, y) $ 在区域 $ D = {(x, y) in mathbb{R}^2 mid x^2 + y^2 leq 1} $ 上的极值。
分析与解答
我们需要明确题目的要求：在闭区域 $ D $ 上寻找函数 $ f(x, y) $ 的极值。由于 $ D $ 是一个闭合区域，根据极值存在的定理，函数在闭区间上必定取得极值，且极值点可能位于区域的内部或边界上。
函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy $ 可以简化为：
$$
f(x, y) = x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2
$$
也是因为这些，该函数实际上是 $ (x - y)^2 $，一个关于 $ x - y $ 的平方函数，其图像为一个开口向上的抛物面，且在 $ x $ 和 $ y $ 的平面上具有对称性。
我们考虑函数在区域 $ D $ 上的极值。由于 $ f(x, y) = (x - y)^2 $，函数在 $ mathbb{R}^2 $ 上的最小值为 0，当且仅当 $ x = y $ 时取得。由于区域 $ D $ 是一个闭合区域，即 $ x^2 + y^2 leq 1 $，所以 $ x $ 和 $ y $ 的取值范围受到限制。
为了求函数在区域 $ D $ 上的极值，我们可以采用两种方法：一是利用极值点与导数的关系，二是利用拉格朗日乘数法，寻找边界上的极值。
方法一：极值点分析
我们考虑函数 $ f(x, y) = (x - y)^2 $ 在区域 $ D $ 内的极值点。由于该函数是一个平方函数，其导数为：
$$
frac{partial f}{partial x} = 2(x - y), quad frac{partial f}{partial y} = -2(x - y)
$$
令导数为零，得到方程组：
$$
2(x - y) = 0 quad text{和} quad -2(x - y) = 0
$$
解得 $ x = y $，也是因为这些，函数在区域 $ D $ 内的极值点位于 $ x = y $ 的直线上。此时，函数值为：
$$
f(x, y) = (x - y)^2 = 0
$$
也是因为这些，函数在区域 $ D $ 内的极小值为 0，且在点 $ (x, y) = (t, t) $ 处取得。不过，由于 $ x^2 + y^2 leq 1 $，即 $ 2t^2 leq 1 $，因此 $ t leq frac{1}{sqrt{2}} $，所以函数在区域内的极小值为 0，且在 $ (t, t) $ 的点上取得。
这个极小值是函数在区域内的最小值，但极值是否为最大值呢？需要进一步分析。
方法二：边界分析
由于函数在区域 $ D $ 上的极值可能出现在边界上，因此我们需考虑边界 $ x^2 + y^2 = 1 $ 上的极值。
边界上的函数可以表示为：
$$
f(x, y) = (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
$$
由于 $ x^2 + y^2 = 1 $，我们可以将 $ x^2 + y^2 = 1 $ 代入函数表达式，得到：
$$
f(x, y) = 1 - 2xy
$$
也是因为这些，函数在边界上的极值问题转化为求 $ 1 - 2xy $ 的极值。
为了求 $ 1 - 2xy $ 在 $ x^2 + y^2 = 1 $ 上的极值，我们可以使用拉格朗日乘数法。设拉格朗日函数为：
$$
mathcal{L}(x, y, lambda) = 1 - 2xy - lambda(x^2 + y^2 - 1)
$$
对 $ x $、$ y $、$ lambda $ 求偏导并令其为零：
$$
frac{partial mathcal{L}}{partial x} = -2y - 2lambda x = 0 quad Rightarrow quad -2y - 2lambda x = 0
$$
$$
frac{partial mathcal{L}}{partial y} = -2x - 2lambda y = 0 quad Rightarrow quad -2x - 2lambda y = 0
$$
$$
frac{partial mathcal{L}}{partial lambda} = -(x^2 + y^2 - 1) = 0 quad Rightarrow quad x^2 + y^2 = 1
$$
从第一个方程可得：
$$
-2y = 2lambda x quad Rightarrow quad lambda = -frac{y}{x}
$$
从第二个方程可得：
$$
-2x = 2lambda y quad Rightarrow quad lambda = -frac{x}{y}
$$
也是因为这些，有：
$$
-frac{y}{x} = -frac{x}{y} quad Rightarrow quad frac{y}{x} = frac{x}{y} quad Rightarrow quad y^2 = x^2
$$
即 $ y = pm x $。
将 $ y = x $ 代入 $ x^2 + y^2 = 1 $，得：
$$
x^2 + x^2 = 1 quad Rightarrow quad 2x^2 = 1 quad Rightarrow quad x = pm frac{1}{sqrt{2}}
$$
也是因为这些，对应的极值点为：
- 当 $ x = frac{1}{sqrt{2}}, y = frac{1}{sqrt{2}} $ 时，函数值为：
$$
f(x, y) = 1 - 2xy = 1 - 2 cdot frac{1}{sqrt{2}} cdot frac{1}{sqrt{2}} = 1 - 2 cdot frac{1}{2} = 1 - 1 = 0
$$
- 当 $ x = -frac{1}{sqrt{2}}, y = -frac{1}{sqrt{2}} $ 时，函数值为：
$$
f(x, y) = 1 - 2xy = 1 - 2 cdot left(-frac{1}{sqrt{2}}right)^2 = 1 - 2 cdot frac{1}{2} = 0
$$
也是因为这些，在边界上，函数的极小值也为 0。
进一步分析
从上述分析可知，在区域 $ D $ 内，函数 $ f(x, y) = (x - y)^2 $ 的极小值为 0，且在点 $ (x, y) = (t, t) $，其中 $ t in [-frac{1}{sqrt{2}}, frac{1}{sqrt{2}}] $ 处取得。而在边界上，函数的极小值也为 0，因此在整个区域 $ D $ 上，函数的最小值为 0，最大值则为函数在边界上的最大值。
为了求最大值，我们可以考虑 $ f(x, y) = 1 - 2xy $ 在边界 $ x^2 + y^2 = 1 $ 上的极值。由于 $ xy $ 的最大值在 $ x^2 + y^2 = 1 $ 时为 $ frac{1}{2} $，因此 $ f(x, y) $ 的最大值为 $ 1 - 2 cdot frac{1}{2} = 0 $，即在边界上，函数的最大值也为 0。
也是因为这些，函数 $ f(x, y) $ 在区域 $ D $ 上的极值为 0，且在所有点上都取得该值。
结论
，函数 $ f(x, y) = (x - y)^2 $ 在区域 $ D = {(x, y) in mathbb{R}^2 mid x^2 + y^2 leq 1} $ 上的极值为 0，且在所有点上都取得该值。
也是因为这些，函数在该区域内的极小值为 0，最大值也为 0。
小节点
- 极值点分析：函数在区域内的极值点位于 $ x = y $ 的直线上，且在 $ x^2 + y^2 leq 1 $ 的范围内。
- 边界分析：函数在边界上取得极值，且极值为 0。
- 拉格朗日乘数法：用于求边界上的极值，得出极值点为 $ (x, y) = (pm frac{1}{sqrt{2}}, pm frac{1}{sqrt{2}}) $。
归结起来说
2004年考研数学二第20题考查了学生对多元函数极值的判断能力，特别是对闭区间上函数极值的分析和应用。通过极值点分析和边界分析，可以得出函数在闭区间上的极小值为 0，且在所有点上都取得该值。该题不仅考察了学生对导数和极值点的理解，还要求他们能够将这些数学概念应用于实际问题中，进行逻辑推理和数学证明。对于备考学生来说，此类题目是检验其数学能力的重要依据，也是提升解题技巧的关键。
详细分析与验证
为了进一步验证上述分析的正确性，我们可以采用数值方法进行验证。
例如，取 $ x = 0 $，$ y = 0 $，此时 $ f(0, 0) = 0 $；取 $ x = 1 $，$ y = 0 $，此时 $ f(1, 0) = 1 $，但 $ x^2 + y^2 = 1 $，因此该点在边界上，函数值为 1，但根据之前的分析，边界上的最大值应为 0，这表明在边界上函数值可能取得最大值，但需要进一步分析。
在边界上，函数 $ f(x, y) = 1 - 2xy $，当 $ x = 1 $，$ y = 0 $ 时，函数值为 1，但此时 $ x^2 + y^2 = 1 $，符合边界条件。根据之前的分析，该点对应的函数值为 1，这表明在边界上，函数的最大值可能为 1。根据拉格朗日乘数法的解，极值点为 $ (x, y) = (pm frac{1}{sqrt{2}}, pm frac{1}{sqrt{2}}) $，此时 $ f(x, y) = 0 $，这表明在边界上，函数的最大值可能为 1，而最小值为 0。
也是因为这些，函数在区域 $ D $ 上的极值为 0（最小值）和 1（最大值）。根据之前的分析，边界上的最大值应为 0，这表明可能存在矛盾，需要进一步验证。
最终结论
经过详细分析和验证，函数 $ f(x, y) = (x - y)^2 $ 在区域 $ D $ 上的极值为 0（最小值），而最大值为 1，出现在边界上的点 $ (1, 0) $ 或 $ (-1, 0) $ 处。
也是因为这些，函数在闭区间 $ D $ 上的极值分别为 0 和 1。
小结
2004年考研数学二第20题通过函数极值的分析，考查了学生对多元函数在闭区间上的极值判定方法的理解和应用能力。该题的关键在于通过导数和边界分析，正确判断函数在区域上的极值点和极值。对于考生来说呢，该题是检验其数学基础和逻辑思维能力的重要题目，也是备考过程中需要重点掌握的典型题目之一。
最终答案
函数 $ f(x, y) = (x - y)^2 $ 在区域 $ D = {(x, y) in mathbb{R}^2 mid x^2 + y^2 leq 1} $ 上的极值为 0，且在点 $ (x, y) = (pm frac{1}{sqrt{2}}, pm frac{1}{sqrt{2}}) $ 处取得最小值，最大值为 1，出现在边界上的点 $ (1, 0) $ 或 $ (-1, 0) $ 处。
