2010考研数二20题-2010数二20题

在2010年全国硕士研究生入学考试数学二中，第20题是一道关于微积分与多元函数极值的应用题。该题考察的是利用拉格朗日乘数法求解约束条件下函数极值的能力，以及对函数在闭区域上的最大值与最小值的理解。题目要求在给定的约束条件下，求函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $ 在区域 $ D = {(x, y) in mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 leq 1} $ 上的极值。此题在数学分析中具有典型意义，不仅考查学生对拉格朗日乘数法的理解，还要求学生具备对函数在闭区域上的极值的判断能力，是考研数学二中一个重要的基础题型。

一、题目解析与解题思路 1.1 题目内容与条件 题目给出函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $，其定义域为 $ D = {(x, y) in mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 leq 1} $，即单位圆内的所有点。要求在该区域内求函数 $ f(x, y) $ 的极值。 1.2 解题思路 由于函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $ 是一个关于 $ x $ 和 $ y $ 的二次函数，其图像为一个抛物面，显然在实数域上是连续且可微的。在闭区域 $ D $ 上，函数的极值必然出现在边界或临界点上，因此解题的关键在于：
- 找出函数的临界点；
- 检查这些临界点是否在定义域 $ D $ 内；
- 判断这些临界点是否为极值点；
- 检查边界上的极值点。 1.3 临界点的求解 函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $ 的梯度为： $$ nabla f = left( frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y} right) = (2x, 2y) $$ 梯度为零的点满足 $ 2x = 0 $ 且 $ 2y = 0 $，即 $ x = 0 $，$ y = 0 $。
也是因为这些，函数在定义域内的唯一临界点是原点 $ (0, 0) $。 1.4 极值的判断 由于函数在闭区域 $ D $ 上连续，根据极值定理，函数在 $ D $ 上必有最大值和最小值。由于 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $ 在 $ D $ 上的最小值出现在 $ (0, 0) $，而最大值出现在边界上。 在边界 $ x^2 + y^2 = 1 $ 上，函数 $ f(x, y) $ 的值为 1。
也是因为这些，函数在区域 $ D $ 上的最小值为 0，最大值为 1。

二、边界上的极值分析 2.1 边界上的极值 边界 $ x^2 + y^2 = 1 $ 是一个圆，函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $ 在该边界上的值为 1。
也是因为这些，函数在边界上的极值为 1。 2.2 极值点的判断 由于函数在边界上取值为 1，而原点 $ (0, 0) $ 是函数的最小值点，因此在闭区域 $ D $ 上，函数 $ f(x, y) $ 的最小值为 0，最大值为 1。

三、题目的应用与扩展 3.1 拉格朗日乘数法的应用 本题可以使用拉格朗日乘数法求解。设约束条件为 $ g(x, y) = x^2 + y^2
- 1 = 0 $，目标函数为 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $。根据拉格朗日乘数法，令： $$ nabla f = lambda nabla g $$ 即： $$ (2x, 2y) = lambda (2x, 2y) $$ 解得：
- $ 2x = 2lambda x Rightarrow x(lambda
- 1) = 0 $
- $ 2y = 2lambda y Rightarrow y(lambda
- 1) = 0 $ 也是因为这些，可能的解为：
- $ x = 0 $，$ y = 0 $，此时 $ lambda $ 任意；
- 或 $ x = y = 0 $，此时 $ lambda $ 任意； 但 $ x^2 + y^2 = 1 $ 的条件下，只有 $ (0, 0) $ 满足，因此该点是唯一的临界点。 3.2 题目拓展与应用 本题不仅考察学生对极值的判断，也考察了对拉格朗日乘数法的理解。在实际考试中，学生需要熟练掌握拉格朗日乘数法的应用，以及在约束条件下寻找极值点的方法。 除了这些之外呢，本题还可以拓展至其他类型的函数，如 $ f(x, y) = x^2 + y^2 + xy $ 等，通过引入不同的约束条件，进一步考察学生的综合能力。

四、解题过程的逻辑与严谨性 4.1 唯一性证明 在定义域 $ D $ 内，函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $ 的梯度为 $ (2x, 2y) $，只有在 $ x = 0 $，$ y = 0 $ 时梯度为零，因此该点是唯一的临界点。 4.2 极值的确定 由于函数在闭区域上连续，根据极值定理，其在区域内必定有最大值和最小值。通过分析，函数在区域内的最小值为 0，最大值为 1。

五、解题技巧与常见误区 5.1 常见误区
- 误以为在边界上函数值最大：实际在边界上函数值为 1，而原点处为 0，因此最小值为 0。
- 忽略边界条件：在解题时，必须将边界条件代入，以确保极值点的正确性。
- 混淆极值与导数：极值点的判断需要结合导数和约束条件，不能仅凭导数判断。 5.2 解题技巧
- 分步分析：先求临界点，再分析边界。
- 结合几何意义：函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $ 是一个抛物面，其在闭区域内的极值可以通过几何直观理解。
- 利用对称性：函数在单位圆上对称，因此极值点可能在对称轴上。

六、题目的教育意义与教学应用 6.1 教育意义 本题是考研数学二中一个典型的基础题，具有重要的教育意义：
- 巩固数学分析基础：通过拉格朗日乘数法，学生可以更好地理解极值的求解方法。
- 提升综合应用能力：学生需要将数学理论与实际问题结合，提高分析问题和解决问题的能力。
- 培养严谨的思维习惯：解题过程中需要严格证明，避免逻辑错误。 6.2 教学应用 在教学中，可以通过本题引导学生掌握以下几点：
- 如何使用拉格朗日乘数法求极值；
- 如何判断极值点是否在定义域内；
- 如何判断极值是否存在；
- 如何结合几何直观分析函数的极值。

七、归结起来说与反思 本题通过一个简单的函数求极值的问题，考察了学生对数学分析的基本概念和方法的理解。在解题过程中，学生需要掌握函数的梯度、约束条件、极值点的判断方法，以及如何结合几何直观进行分析。 通过本题，学生可以更好地理解极值的求解过程，并培养严谨的数学思维。
于此同时呢，本题也为教学提供了良好的素材，有助于教师在教学中引导学生掌握相关知识点。

八、方法与策略的优化 在解题过程中，可以采用以下方法和策略：
- 分步解题法：将问题分解为多个小问题，逐步求解；
- 图像辅助法：通过图像直观理解函数的极值；
- 符号计算法：利用符号计算验证解的正确性；
- 极限分析法：通过极限分析判断极值的存在性。

九、结论 ，2010年考研数学二第20题是一道典型的极值问题，考察学生对拉格朗日乘数法的理解和应用能力。通过本题，学生可以掌握函数极值的求解方法，提升数学分析能力。在教学中，应注重引导学生掌握解题思路和方法，培养严谨的数学思维，提高综合应用能力。