2012考研数学二17题解析-2012考研数学二17题解析

在2012年考研数学二真题中，第17题是一道涉及多元函数极值与约束条件的优化问题。题目考察的是利用拉格朗日乘数法求解有约束条件下的极值问题，同时需要结合函数的连续性和可微性进行分析。该题不仅考查学生对拉格朗日乘数法的掌握程度，还要求学生具备对函数性质的深刻理解，以及对边界条件的识别能力。题目的设置体现了数学分析在实际问题中的应用，尤其是在物理、工程等领域的优化问题中常见。该题的解答过程需要学生系统地构建数学模型，结合数学工具进行推导，并最终验证解的正确性。该题在考研数学二中具有较高的难度，但也是检验学生综合运用数学知识解决问题能力的重要考察点。
2012考研数学二第17题解析
一、题干回顾与题型分析 题目为： 设函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2
- 2xy $，在区域 $ D = {(x, y) mid x^2 + y^2 leq 4} $ 上求 $ f(x, y) $ 的极值。 该题属于多元函数极值问题，考察的是利用拉格朗日乘数法求解有约束条件下的极值，同时需要判断极值是否为最大值或最小值。
二、问题解析 我们需要明确题目所给的函数和区域：
- 函数：$ f(x, y) = x^2 + y^2
- 2xy $
- 区域：$ D = {(x, y) mid x^2 + y^2 leq 4} $ 题目要求在区域 $ D $ 内求 $ f(x, y) $ 的极值。
三、解题步骤
1.原函数的简化与分析 我们可以对原函数进行简化： $$ f(x, y) = x^2 + y^2
- 2xy = (x
- y)^2 $$ 这是一个平方项，因此函数 $ f(x, y) $ 的值总是非负的，并且在 $ x = y $ 的情况下取得最小值。
2.极值的判断 由于 $ f(x, y) = (x
- y)^2 $，在实数范围内，其最小值为 0，当且仅当 $ x = y $ 时取得。 题目要求的是在区域 $ D = { (x, y) mid x^2 + y^2 leq 4 } $ 内的极值，因此需要考虑边界条件。
3.使用拉格朗日乘数法 为了在约束条件下求极值，我们可以使用拉格朗日乘数法。设约束条件为： $$ g(x, y) = x^2 + y^2
- 4 = 0 $$ 我们构造拉格朗日函数： $$ mathcal{L}(x, y, lambda) = (x
- y)^2 + lambda(x^2 + y^2
- 4) $$ 对 $ x, y, lambda $ 求偏导并令其为零：
- $ frac{partial mathcal{L}}{partial x} = 2(x
- y) + 2lambda x = 0 $
- $ frac{partial mathcal{L}}{partial y} = -2(x
- y) + 2lambda y = 0 $
- $ frac{partial mathcal{L}}{partial lambda} = x^2 + y^2
- 4 = 0 $
4.解方程组 从第一式和第二式中，我们有： $$ 2(x
- y) + 2lambda x = 0 quad text{(1)} \ -2(x
- y) + 2lambda y = 0 quad text{(2)} $$ 将两式相加，得到： $$ 2(x
- y) + 2lambda x
- 2(x
- y) + 2lambda y = 0 Rightarrow 2lambda(x + y) = 0 $$ 也是因为这些，$ lambda = 0 $ 或 $ x + y = 0 $。 （1）若 $ lambda = 0 $ 代入第一式： $$ 2(x
- y) = 0 Rightarrow x = y $$ 代入约束条件： $$ x^2 + y^2 = 4 Rightarrow 2x^2 = 4 Rightarrow x^2 = 2 Rightarrow x = pm sqrt{2} $$ 也是因为这些，$ x = y = pm sqrt{2} $，对应的 $ f(x, y) = 0 $。 （2）若 $ x + y = 0 $ 代入约束条件： $$ x^2 + y^2 = 4 Rightarrow x^2 + (-x)^2 = 4 Rightarrow 2x^2 = 4 Rightarrow x^2 = 2 Rightarrow x = pm sqrt{2} $$ 此时，$ y = mp sqrt{2} $，对应的 $ f(x, y) = (x
- y)^2 = (x
- (-x))^2 = (2x)^2 = 4x^2 = 8 $。 也是因为这些，当 $ x = pm sqrt{2}, y = mp sqrt{2} $ 时，$ f(x, y) = 8 $。
5.极值的比较 在约束条件下，函数 $ f(x, y) $ 在点 $ (sqrt{2}, -sqrt{2}) $ 和 $ (-sqrt{2}, sqrt{2}) $ 处取得值 8，而在 $ x = y $ 的点处取得值 0。 也是因为这些，函数在区域 $ D $ 内的最小值为 0，最大值为 8。
6.验证边界条件 由于 $ D $ 是一个闭合区域，根据极值定理，函数在闭合区域内一定有极值。
也是因为这些，上述解是正确的。

四、结论 ，2012年考研数学二第17题考查了学生对多元函数极值的掌握，特别是拉格朗日乘数法的应用。在分析过程中，学生需要熟练运用数学工具，结合区域的约束条件进行推导，并验证极值的存在性与性质。 题目不仅考察了学生的数学计算能力，还要求学生具备对函数性质的深刻理解，以及对边界条件的识别能力。该题的解答过程体现了数学分析在实际问题中的应用，尤其在物理、工程等领域的优化问题中常见。

五、归结起来说 该题的解答过程清晰、逻辑严密，体现了数学分析在解决实际问题中的重要性。学生在备考过程中，应加强对多元函数极值问题的学习，尤其是拉格朗日乘数法的应用，以及对函数性质的深入理解。
于此同时呢，要注重对边界条件的识别与验证，以确保解题的正确性与全面性。