2011年考研数学二21题-2011考研数学二21题

在2011年考研数学二的21题中，考查的是高等数学中关于多元函数极值与最值的综合应用。题目涉及函数的定义域、连续性、可微性、极值点判断以及边界条件的处理。该题不仅考察考生对多元函数极值定理的理解，还要求考生能够运用偏导数、梯度向量、拉格朗日乘数法等工具进行分析。该题在考查数学抽象能力的同时，也强调了数学建模与逻辑推理的结合。本题在考研数学二中具有代表性，是考生在备考过程中需要重点掌握的典型题目之一。其综合性强、难度适中，适合用于评估考生对多元函数极值问题的掌握程度。
21题解析 题目内容 设函数 $ f(x, y) = frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + 1} $，求函数 $ f(x, y) $ 的极值点。 解题思路 我们分析函数 $ f(x, y) $ 的定义域。由于分母 $ x^2 + y^2 + 1 $ 始终为正数，因此函数 $ f(x, y) $ 的定义域为全体实数平面 $ mathbb{R}^2 $。 我们考虑函数的极值点。由于 $ f(x, y) $ 是一个关于 $ x $ 和 $ y $ 的二元函数，我们可以使用多元函数极值的条件来判断。
1.求偏导数 我们先求 $ f(x, y) $ 的偏导数： $$ frac{partial f}{partial x} = frac{(2x)(x^2 + y^2 + 1)
- (x^2 + y^2)(2x)}{(x^2 + y^2 + 1)^2} $$ $$ = frac{2x(x^2 + y^2 + 1)
- 2x(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2 + 1)^2} $$ $$ = frac{2x}{(x^2 + y^2 + 1)^2} $$ 同理，求得： $$ frac{partial f}{partial y} = frac{2y}{(x^2 + y^2 + 1)^2} $$
2.求极值点 为了求极值点，我们需要解以下方程组： $$ frac{partial f}{partial x} = 0 quad text{且} quad frac{partial f}{partial y} = 0 $$ 即： $$ frac{2x}{(x^2 + y^2 + 1)^2} = 0 quad text{和} quad frac{2y}{(x^2 + y^2 + 1)^2} = 0 $$ 由于分母 $ (x^2 + y^2 + 1)^2 $ 始终为正，因此： $$ x = 0 quad text{和} quad y = 0 $$ 也是因为这些，极值点为 $ (0, 0) $。
3.判断极值类型 为了判断 $ (0, 0) $ 是否为极值点，我们可以使用二阶导数法或直接分析函数的值。 计算函数在 $ (0, 0) $ 处的二阶导数。由于 $ f(x, y) $ 是关于 $ x $ 和 $ y $ 的函数，我们可以计算二阶偏导数。 $$ f_{xx} = frac{d^2 f}{dx^2} = frac{24x^2
- 4x(x^2 + y^2 + 1)}{(x^2 + y^2 + 1)^4} $$ 在 $ (0, 0) $ 处，$ f_{xx} = 0 $，同理 $ f_{yy} = 0 $，而 $ f_{xy} = 0 $。 也是因为这些，函数在 $ (0, 0) $ 处的二阶导数为零，无法直接判断极值类型。
也是因为这些，需要进一步分析。
4.检查函数在 $ (0, 0) $ 处的极限 我们检查 $ f(x, y) $ 在 $ (0, 0) $ 处的极限。由于分母为 $ x^2 + y^2 + 1 $，而分子为 $ x^2 + y^2 $，因此： $$ lim_{(x, y) to (0, 0)} f(x, y) = lim_{(x, y) to (0, 0)} frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + 1} = 1 $$ 也是因为这些，函数在 $ (0, 0) $ 处有极限值为 1。
5.检查函数在 $ (0, 0) $ 处的连续性 由于 $ f(x, y) $ 在 $ (0, 0) $ 处的极限为 1，而 $ f(0, 0) = frac{0 + 0}{0 + 0 + 1} = 0 $，因此函数在 $ (0, 0) $ 处不连续。
6.检查函数的极值性质 由于函数在 $ (0, 0) $ 处不连续，因此不能直接判断其为极值点。我们需要进一步分析函数在其他点的值。 我们考虑函数在 $ (x, y) neq (0, 0) $ 处的值。由于 $ f(x, y) = frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + 1} $，可以观察到：
- 当 $ x^2 + y^2 to infty $ 时，$ f(x, y) to 1 $，即函数在无穷远处趋近于 1。
- 当 $ x^2 + y^2 to 0 $ 时，$ f(x, y) to 0 $。 也是因为这些，函数在 $ (0, 0) $ 处的极限为 1，而在其他点的值介于 0 和 1 之间。
7.结论 函数 $ f(x, y) $ 在 $ (0, 0) $ 处没有极值点，因为函数在该点处不连续。
除了这些以外呢，函数在 $ (0, 0) $ 处的极限为 1，而其他点的值小于 1，因此函数在 $ (0, 0) $ 处没有极值。
题型分析与备考建议 21题考查的是多元函数极值问题，重点在于函数的定义域、连续性、可微性以及极值点的判断。该题在考研数学二中具有代表性，适用于测试考生对多元函数极值问题的掌握程度。 备考建议：
1.掌握多元函数极值的基本概念：包括定义域、连续性、可微性、极值点的判断条件等。
2.熟练运用偏导数法：通过求偏导数并解方程组，确定极值点。
3.注意函数的连续性和极限性质：极值点的存在需要函数在该点连续。
4.结合具体函数进行分析：如本题中的函数 $ f(x, y) = frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + 1} $，需要结合函数的结构进行分析。
5.注意边界条件和极限行为：在判断极值时，需关注函数在无穷远处的行为和极限值。
小节点
- 极值点判断：通过偏导数为零的点来判断极值点。
- 连续性：极值点的存在需要函数在该点连续。
- 极限行为：函数在极限点处的值对极值判断有影响。
归结起来说 21题通过对多元函数极值的分析，考查考生对极值点的判断、函数连续性以及极限行为的理解。本题的解答过程涉及偏导数计算、极值点判断、函数连续性分析等多个方面，是考研数学二中较为典型的题目。备考过程中，考生应注重对函数结构的分析，熟练掌握极值判断方法，同时注意函数的极限和连续性，以确保在考试中能够准确解答此类题目。