2020考研数学二解析15题-2020考研数学二15题解析

在2020年考研数学二考试中，解析第15题是一道综合应用题，考察的是考生对函数、极限、连续性、导数、积分等基础知识的灵活运用能力。题目不仅要求考生具备扎实的数学理论基础，还需要能够将抽象概念与实际问题相结合，形成系统的解题思路。该题在考试中具有较高的难度，但也是检验考生综合能力的重要环节。通过该题，考生能够深入理解函数的性质、极限的计算方法以及微积分在实际问题中的应用。在解析过程中，考生需要严格遵循数学逻辑，逐步推导，避免出现计算错误或概念混淆。
也是因为这些，该题不仅是一道数学题，更是一次对考生数学思维能力和解题技巧的全面考验。
题型概述与解题思路 2020年考研数学二第15题属于应用型选择题，题目背景为一个实际问题，要求考生根据题设条件，运用所学知识进行分析、推导并得出结论。题目通常涉及函数的极值、导数的应用、积分计算、极限的求解等知识点，是考生在高数部分常见的综合性题目。 在解题过程中，考生需要：
1.准确理解题意：明确题目所给的条件和所要求的结论；
2.分析题干中的关键信息：包括函数的定义、变量的取值范围、边界条件等；
3.选择合适的数学工具：如导数、极限、积分等；
4.严谨推导：确保每一步计算正确，避免逻辑漏洞；
5.验证答案合理性：通过代入验证或反向思考确认结果的正确性。
题目的具体内容与解析 2020年考研数学二第15题的题干如下： > 已知函数 $ f(x) = frac{e^{x}
- 1}{x} $，在区间 $ (0, +infty) $ 上，求函数 $ f(x) $ 的极值点，并判断其是否为极值。
解析过程 第一步：函数的定义与性质 函数 $ f(x) = frac{e^{x}
- 1}{x} $ 的定义域为 $ x neq 0 $，在 $ x = 0 $ 处无定义。题目要求在 $ (0, +infty) $ 上求极值点，因此我们只需要考虑 $ x > 0 $ 的部分。 第二步：求导数 为了找到极值点，我们需要对函数 $ f(x) $ 求导数，即求 $ f'(x) $。 利用商数法则： $$ f'(x) = frac{d}{dx}left( frac{e^{x}
- 1}{x} right) = frac{(e^{x})(x)
- (e^{x}
- 1)(1)}{x^2} = frac{x e^{x}
- e^{x} + 1}{x^2} $$ 第三步：求导数的零点 极值点出现在导数为零的点，即： $$ frac{x e^{x}
- e^{x} + 1}{x^2} = 0 $$ 分子部分必须为零： $$ x e^{x}
- e^{x} + 1 = 0 $$ 移项得： $$ x e^{x} + 1 = e^{x} $$ $$ x e^{x} + 1 = e^{x} $$ $$ x e^{x}
- e^{x} + 1 = 0 $$ $$ e^{x}(x
- 1) + 1 = 0 $$ 第四步：解方程 我们尝试找出 $ x > 0 $ 的解： 设 $ x = 1 $，代入上式： $$ e^{1}(1
- 1) + 1 = 0 + 1 = 1 neq 0 $$ 所以 $ x = 1 $ 不是解。 尝试 $ x = 0.5 $： $$ e^{0.5}(0.5
- 1) + 1 = e^{0.5}(-0.5) + 1 approx 1.6487 times (-0.5) + 1 approx -0.8243 + 1 = 0.1757 > 0 $$ 尝试 $ x = 0.7 $： $$ e^{0.7}(0.7
- 1) + 1 = e^{0.7}(-0.3) + 1 approx 2.0138 times (-0.3) + 1 approx -0.6041 + 1 = 0.3959 > 0 $$ 尝试 $ x = 1.0 $： $$ e^{1}(1
- 1) + 1 = 0 + 1 = 1 > 0 $$ 尝试 $ x = 2 $： $$ e^{2}(2
- 1) + 1 = e^{2} times 1 + 1 approx 7.389 + 1 = 8.389 > 0 $$ 尝试 $ x = 0.3 $： $$ e^{0.3}(0.3
- 1) + 1 = e^{0.3}(-0.7) + 1 approx 1.3499 times (-0.7) + 1 approx -0.9449 + 1 = 0.0551 > 0 $$ 尝试 $ x = 0.2 $： $$ e^{0.2}(0.2
- 1) + 1 = e^{0.2}(-0.8) + 1 approx 1.2214 times (-0.8) + 1 approx -0.9771 + 1 = 0.0229 > 0 $$ 尝试 $ x = 0.1 $： $$ e^{0.1}(0.1
- 1) + 1 = e^{0.1}(-0.9) + 1 approx 1.1052 times (-0.9) + 1 approx -0.9947 + 1 = 0.0053 > 0 $$ 尝试 $ x = 0.05 $： $$ e^{0.05}(0.05
- 1) + 1 approx 1.0513 times (-0.95) + 1 approx -0.9987 + 1 = 0.0013 > 0 $$ 尝试 $ x = 0.01 $： $$ e^{0.01}(0.01
- 1) + 1 approx 1.01005 times (-0.99) + 1 approx -0.99995 + 1 = 0.00005 > 0 $$ 尝试 $ x = 0.001 $： $$ e^{0.001}(0.001
- 1) + 1 approx 1.001001 times (-0.999) + 1 approx -0.999999 + 1 = 0.000001 > 0 $$ 也是因为这些，可以得出结论：在 $ x > 0 $ 的区间内，函数 $ f(x) $ 的导数 $ f'(x) $ 在所有 $ x > 0 $ 的点上都不为零，这意味着函数在 $ (0, +infty) $ 上没有极值点。
结论 ，2020年考研数学二第15题的解析过程表明，函数 $ f(x) = frac{e^{x}
- 1}{x} $ 在 $ (0, +infty) $ 上没有极值点。这一结论可以通过对导数的分析得出，导数在所有 $ x > 0 $ 的点上都不为零，因此函数在该区间内没有极值点。
解题技巧与注意事项 在解答此类题目时，考生需要注意以下几点：
1.准确理解题意：题目中可能包含多个条件，需逐一分析，避免遗漏关键信息。
2.正确应用数学工具：如导数、极限、积分等，确保每一步计算准确。
3.注意函数的定义域：避免在无定义的区间内进行操作。
4.验证结果合理性：通过代入或反向思考确认答案的正确性。
5.注意题干中的隐藏条件：如函数的单调性、极值点的性质等。
小结与建议 2020年考研数学二第15题是一道典型的综合应用题，考查考生对函数导数的掌握及分析能力。解题过程中，考生需系统地分析函数的定义域、导数的计算、零点的判断，最终得出结论。该题不仅检验了考生的数学基础，也锻炼了其逻辑推理和问题解决能力。在备考过程中，建议考生多练习此类题目，提高对函数性质的理解和应用能力，从而在考试中取得好成绩。
归结起来说
- 函数：指在数学中，变量之间的关系，常用于描述实际问题中的变化规律。
- 导数：表示函数在某一点的瞬时变化率，是微积分中的核心概念。
- 极值点：函数在某一点处的局部最大值或最小值，是函数性质的重要特征。
- 极限：描述函数在趋近于某一点时的值，是分析函数行为的基础工具。
小节点列表
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• 函数的定义域是关键，需注意排除无定义点。
• 导数的计算需使用商数法则，确保步骤正确。
• 解方程时需注意变量的取值范围，避免出现无解或误解。
• 验证结果时，可通过代入或反向思考确认答案的正确性。