2022考研数学一真题19题-2022考研数学一真题19题

本题涉及高等数学中的多元函数极值问题，考查学生对偏导数、梯度、约束条件以及极值判定方法的掌握。题目要求在给定的约束条件下，求函数在闭区域上的极值，并判断其是否为极大值或极小值。该题不仅考察学生对数学理论的理解，还要求其具备良好的逻辑推理能力，以正确应用极值判定定理。题目结合了多元函数的极值问题，强调了数学建模与问题转化的重要性。
于此同时呢，题目对数学概念的运用具有较高要求，体现了考研数学对扎实理论基础和灵活应用能力的双重考查。
2022考研数学一真题19题解析

2022年考研数学一真题第19题是关于多元函数极值问题的经典题目，考查学生对多元函数极值的判定方法以及约束条件下的极值问题的解决能力。题目要求在给定的约束条件下，求函数在闭区域上的极值，并判断其是否为极大值或极小值。该题不仅考察学生对数学理论的理解，还要求其具备良好的逻辑推理能力，以正确应用极值判定定理。题目结合了多元函数的极值问题，强调了数学建模与问题转化的重要性。
于此同时呢，题目对数学概念的运用具有较高要求，体现了考研数学对扎实理论基础和灵活应用能力的双重考查。

题目给出的函数为：

$$ f(x, y) = x^2 + y^2 + 2xy $$

在约束条件：

$$ x + y leq 1,quad x geq 0,quad y geq 0 $$

的闭区域上求极值。

问题分析与解题思路

题目给出的函数是 $ f(x, y) = x^2 + y^2 + 2xy $，这是一个关于 $ x $ 和 $ y $ 的二次函数，显然在实数域上是一个二次函数，具有对称性。我们需要在给定的约束条件下，求其极值。

考虑函数的极值点。由于函数是二次函数，其极值点可以通过求导得到。在无约束情况下，函数的极值点可以通过求偏导数并令其为零来确定。本题中存在约束条件，因此需要应用拉格朗日乘数法来求解。

对函数 $ f(x, y) $ 求偏导数：

$$ frac{partial f}{partial x} = 2x + 2y,quad frac{partial f}{partial y} = 2y + 2x $$

令其为零，得到：

$$ 2x + 2y = 0 Rightarrow x + y = 0 $$ $$ 2y + 2x = 0 Rightarrow x + y = 0 $$

由上述两个方程，得到 $ x + y = 0 $，即 $ y = -x $。题目中给出的约束条件为 $ x geq 0 $ 和 $ y geq 0 $，因此 $ x = 0 $ 且 $ y = 0 $ 是唯一的解。

根据约束条件 $ x + y leq 1 $，当 $ x = 0 $，$ y = 0 $ 时，满足 $ x + y = 0 leq 1 $，因此该点是可行的。该点是否为极值点，还需要进一步分析。

极值点的判定

为了确定该点是否为极值点，我们需要判断其是否为闭区域内的极值点。由于函数在闭区域上连续，且在闭区域上具有连续偏导数，因此可以应用极值判定定理。

考虑函数在闭区域上的极值点。由于函数在闭区域上连续，且在闭区域上具有连续偏导数，因此其极值点必然存在。函数在闭区域上的极值点可能出现在边界上，也可能在内部。

在本题中，闭区域为 $ x + y leq 1 $，$ x geq 0 $，$ y geq 0 $。该区域是一个二维区域，边界为直线 $ x + y = 1 $，以及两条坐标轴。
也是因为这些，极值点可能出现在边界上，也可能在内部。

在内部，我们已经求出极值点为 $ (0, 0) $，但需要进一步验证其是否为极值点。此时，我们可以使用二阶导数法判断极值点的类型。

计算函数的二阶偏导数：

$$ frac{partial^2 f}{partial x^2} = 2,quad frac{partial^2 f}{partial y^2} = 2,quad frac{partial^2 f}{partial x partial y} = 2 $$

然后，计算海森矩阵：

$$ H = begin{bmatrix} 2 & 2 \ 2 & 2 end{bmatrix} $$

由于海森矩阵的主子式为 $ 2 times 2 = 4 > 0 $，且行列式 $ 2 times 2
- 2 times 2 = 0 $，因此海森矩阵的行列式为零，说明该点不是极值点，而是临界点。

也是因为这些，函数在闭区域上的极值点可能出现在边界上。

边界上的极值点分析

我们需要分析函数在闭区域边界上的极值点。闭区域的边界包括：

1.$ x + y = 1 $，$ x geq 0 $，$ y geq 0 $
2.$ x = 0 $，$ 0 leq y leq 1 $
3.$ y = 0 $，$ 0 leq x leq 1 $

考虑边界 $ x + y = 1 $ 的部分。将 $ y = 1
- x $ 代入函数 $ f(x, y) $，得到：

$$ f(x, 1
- x) = x^2 + (1
- x)^2 + 2x(1
- x) $$ $$ = x^2 + 1
- 2x + x^2 + 2x
- 2x^2 = 1 $$

也是因为这些，在边界 $ x + y = 1 $ 上，函数值恒为 1，即该边界上函数值恒定。

分析边界 $ x = 0 $，$ 0 leq y leq 1 $。将 $ x = 0 $ 代入函数 $ f(x, y) $，得到：

$$ f(0, y) = 0 + y^2 + 0 = y^2 $$

也是因为这些，在边界 $ x = 0 $ 上，函数 $ f(x, y) = y^2 $，在 $ y in [0, 1] $ 上，函数值在 $ y = 0 $ 处取得最小值 0，在 $ y = 1 $ 处取得最大值 1。

同样地，在边界 $ y = 0 $ 上，函数 $ f(x, 0) = x^2 + 0 + 0 = x^2 $，在 $ x in [0, 1] $ 上，函数值在 $ x = 0 $ 处取得最小值 0，在 $ x = 1 $ 处取得最大值 1。

极值点的最终判断

，函数在闭区域上的极值点出现在边界上。具体来说：

1.在边界 $ x + y = 1 $ 上，函数值恒为 1，因此该边界上函数取得最大值 1。
2.在边界 $ x = 0 $ 上，函数取得最小值 0。
3.在边界 $ y = 0 $ 上，函数取得最小值 0。

也是因为这些，函数在闭区域上的极值为 0，出现在点 $ (0, 0) $，同时在边界上也存在极值点，但这些点的函数值均为 0。

结论

2022年考研数学一真题第19题考查了学生对多元函数极值问题的理解和应用能力。题目通过给定的约束条件，要求学生在闭区域上求函数的极值，并判断其是否为极大值或极小值。该题不仅考察了学生对数学理论的掌握，还要求其具备良好的逻辑推理能力，以正确应用极值判定定理。题目在分析过程中，重点在于对函数的极值点的判断，以及边界上的极值点的分析。

通过分析，发现该题的极值点出现在边界上，且函数在边界上取得最小值 0，而在其他区域取得最大值 1。
也是因为这些，函数在闭区域上的极值为 0，出现在点 $ (0, 0) $。题目要求学生在解题过程中，注意函数的对称性，以及边界条件对极值点的影响。

本题通过多元函数极值问题的分析，展示了数学在实际问题中的应用价值，同时也强调了数学理论与实际问题结合的重要性。学生在解题过程中，需要具备扎实的数学基础，以及良好的问题分析和逻辑推理能力。