2021考研数学一第10题-2021考研数学一第10题

在2021年考研数学一试卷中，第10题是一道涉及微积分与线性代数交叉内容的综合题。题目考察了函数的极限、连续性、导数以及向量组的线性相关性等知识点。该题在考查学生对基本概念的理解和综合运用能力方面具有较高难度，对考生的数学基础和逻辑推理能力提出了较高要求。题目的设计体现了考研数学试题在考查知识点的深度与广度上的平衡，同时也反映了近年来考研数学题型在综合应用方面的趋势。在解答过程中，学生需要准确把握题目的数学本质，结合相关定理和方法进行推导和验证，从而达到题目所要求的解题目标。
2021考研数学一第10题解析 题目内容 设函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上连续，且 $ f(a) = f(b) = 0 $，在 $ (a, b) $ 内有导数 $ f'(x) $，若存在 $ c in (a, b) $ 使得 $ f'(c) = 0 $，则以下结论一定成立的是： A. $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上有极值 B. $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上有极小值 C. $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上有极大值 D. $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上有拐点
题目的分析与解答 该题考查的是函数在区间上的极值与拐点的判断，属于高等数学中函数性质的重要内容。题目给出的条件包括函数在区间端点处的值为零，以及在区间内存在一个点使得导数为零。这些条件在数学分析中具有重要意义，尤其是在判断函数的极值和拐点时，常需要结合导数和二阶导数的性质。 从题目给出的条件来看，函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上连续，且在端点处的函数值为零。这说明函数在区间 $ [a, b] $ 上是连续的，并且在 $ a $ 和 $ b $ 处有特定值。
于此同时呢，题目中提到的 $ f'(c) = 0 $，其中 $ c in (a, b) $，这表明函数在该点处有极值点。 根据极值存在的定理，如果函数在闭区间 $ [a, b] $ 上连续，且在该区间内有极值点，则该极值点一定出现在导数为零的点或端点处。题目中给出的条件是函数在 $ a $ 和 $ b $ 处的值为零，但并未明确说明该函数在 $ [a, b] $ 上是否存在极值点。 我们对各选项进行逐一分析： 选项 A：$ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上有极值 这个选项的表述不够严谨，因为极值点可能出现在导数为零的点或端点处，但题目中并未明确说明函数在 $ [a, b] $ 上是否存在极值点。
也是因为这些，不能断定该选项一定成立。 选项 B：$ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上有极小值 同样，该选项的表述也不够准确。函数在 $ [a, b] $ 上可能有极小值或极大值，但题目中并未给出足够的信息来确定极值的类型。
也是因为这些，不能断定该选项一定成立。 选项 C：$ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上有极大值 该选项与选项 B 类似，同样缺乏足够的信息支持其成立。函数在 $ [a, b] $ 上可能有极大值，也可能没有，因此不能断定该选项一定成立。 选项 D：$ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上有拐点 拐点是指函数图像由凸变凹或由凹变凸的点，即二阶导数发生变化的点。题目中并未给出关于二阶导数的信息，因此无法直接判断是否存在拐点。
题目的思考过程与推导 从数学分析的角度来看，题目中给出的条件是函数在区间 $ [a, b] $ 上连续，且在端点处的函数值为零，同时在区间内存在一个点 $ c $，使得 $ f'(c) = 0 $。这说明函数在该点处有极值点，但该极值点是极大值还是极小值，或是否存在拐点，都需要进一步分析。 由于题目中没有给出函数的具体表达式，因此需要从函数的性质来推导。根据极值存在的定理，函数在区间 $ [a, b] $ 上的极值点可能出现在导数为零的点或端点处。
也是因为这些，函数在 $ [a, b] $ 上存在极值点是可能的。 题目中并未给出函数在 $ [a, b] $ 上的单调性或凹凸性信息，因此不能直接推断出函数是否存在极值或拐点。
也是因为这些，选项 A、B、C 和 D 都不能被确定为一定成立。
题目的综合分析 ，题目中给出的条件不足以确定函数在 $ [a, b] $ 上一定存在极值或拐点。
也是因为这些，题目中的选项 A、B、C 和 D 都不能被确定为一定成立。题目考查的是考生对函数性质的理解和分析能力，同时也反映了考研数学题在考查知识点综合运用方面的趋势。
结论 2021年考研数学一第10题通过设置一个具有挑战性的数学问题，考察了考生对函数性质的理解和综合运用能力。题目虽然看似简单，但需要考生准确把握题目的数学本质，结合相关定理和方法进行推导和验证。该题在考查考生的数学思维和逻辑推理能力方面具有重要意义，同时也反映了考研数学试题在综合应用方面的趋势。
回顾 函数性质、极值、导数、拐点、连续性、区间、端点、数学分析、高等数学、考研数学、考试命题、综合应用、逻辑推理、数学思维