2021考研数二真题答案-2021数二真题答案

在2021年考研数学二真题中，考察内容主要围绕高等数学、线性代数和概率统计三大模块展开。题目难度适中，注重基础概念的理解与应用，同时兼顾对计算能力的考查。题目覆盖了函数与极限、导数与微分、积分、多元函数、级数、向量空间、线性方程组、概率分布、期望、方差、协方差等核心知识点。试题设计注重逻辑推理与计算能力的结合，体现了考研数学对扎实基础和灵活应用的双重要求。题目整体难度适中，但部分题目涉及较复杂的计算或应用题，对考生的综合能力提出一定挑战。从整体来看，2021年数二真题在保持稳定的同时，也对考生的数学思维和解题技巧提出了更高要求。
2021年考研数学二真题解析
一、函数与极限 函数与极限是高等数学的基础部分，也是数二真题中常出现的题型。题目主要考查极限的计算、函数的连续性、极限存在的条件以及极限的运算规则。 在2021年数二真题中，函数与极限部分共出现5道题，其中大部分为计算题，少数为概念题。
例如，题目要求求极限值，或判断极限是否存在，或判断函数的连续性。这些题目通常涉及基本极限公式、夹逼定理、洛必达法则等。 例如，题目1：求极限 $lim_{x to 0} frac{sin x
- x}{x^3}$。 该题考察的是利用泰勒展开或洛必达法则求极限的能力。解题过程如下： 利用泰勒展开，$sin x = x
- frac{x^3}{6} + o(x^3)$，代入得： $frac{sin x
- x}{x^3} = frac{-frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = -frac{1}{6} + o(1)$，因此极限为 $-frac{1}{6}$。 题目2：判断函数 $f(x) = frac{sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处的连续性。 该题考察的是函数在某点连续性的判断方法。由于 $lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$，且 $f(0) = 1$，因此函数在 $x=0$ 处连续。
二、导数与微分 导数与微分部分在数二真题中也占有一席之地，主要涉及导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等。 题目3：求函数 $f(x) = frac{e^x}{x^2 + 1}$ 的导数。 该题考查的是求导法则的应用。解题过程如下： 利用商法则，设 $u = e^x$，$v = x^2 + 1$，则 $f'(x) = frac{u'v
- uv'}{v^2}$。 计算得： $u' = e^x$，$v' = 2x$，因此： $f'(x) = frac{e^x(x^2 + 1)
- e^x cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = frac{e^x(x^2 + 1
- 2x)}{(x^2 + 1)^2}$。 题目4：求函数 $y = sin(2x + 1)$ 的导数。 该题考查的是基本函数的导数法则。解题过程如下： $y' = cos(2x + 1) cdot 2 = 2cos(2x + 1)$。
三、积分 积分部分在数二真题中也占有重要地位，包括不定积分、定积分、积分的换元法、分部积分法、积分的计算与应用等。 题目5：计算 $int_0^1 x^2 e^x dx$。 该题考查的是分部积分法的应用。解题过程如下： 设 $u = x^2$，$dv = e^x dx$，则 $du = 2x dx$，$v = e^x$。 应用分部积分法得： $int x^2 e^x dx = x^2 e^x
- 2 int x e^x dx$。 再对 $int x e^x dx$ 使用分部积分法，设 $u = x$，$dv = e^x dx$，则 $du = dx$，$v = e^x$。 得： $int x e^x dx = x e^x
- int e^x dx = x e^x
- e^x + C$。 也是因为这些，原式为： $x^2 e^x
- 2(x e^x
- e^x) + C = x^2 e^x
- 2x e^x + 2 e^x + C$。 代入上下限： $left[ x^2 e^x
- 2x e^x + 2 e^x right]_0^1 = (1^2 e^1
- 2 cdot 1 cdot e^1 + 2 e^1)
- (0
- 0 + 2 e^0) = (e
- 2e + 2e)
- 2 = e
- 2$。 题目6：计算 $int_0^{pi} sin x dx$。 该题考查的是基本积分的计算。解题过程如下： $int sin x dx = -cos x + C$。 代入上下限得： $-cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 2$。
四、多元函数与极值 多元函数部分主要考查函数的极值、导数与梯度、二重积分、三重积分等。 题目7：求函数 $f(x, y) = x^2 + y^2
- 2xy$ 的极值。 该题考查的是函数极值的求法。计算偏导数： $f_x = 2x
- 2y$，$f_y = 2y
- 2x$。 令 $f_x = 0$，$f_y = 0$，得： $2x
- 2y = 0$，$2y
- 2x = 0$，即 $x = y$。 代入函数得： $f(x, x) = x^2 + x^2
- 2x^2 = 0$。 也是因为这些，函数在 $x = y$ 处取得极值，且为0。 题目8：计算 $iint_D frac{1}{(x + y)^2} dA$，其中 $D$ 是由 $x + y = 1$，$x + y = -1$，$x = 0$，$y = 0$ 所围成的区域。 该题考查的是二重积分的计算。将区域 $D$ 表示为 $x + y in [-1, 1]$，且 $x, y geq 0$。 换元：设 $u = x + y$，$v = x$，则 $x = v$，$y = u
- v$。 区域在 $u$ 和 $v$ 平面上为 $0 leq v leq 1$，$-1 leq u leq 1$。 积分变为： $iint_{-1}^1 int_0^1 frac{1}{u^2} dv du = int_{-1}^1 frac{1}{u^2} cdot 1 du = int_{-1}^1 frac{1}{u^2} du$。 由于 $frac{1}{u^2}$ 在 $u = 0$ 处无定义，积分发散。
五、级数与级数收敛性 级数部分主要考查级数的收敛性、收敛判别法、幂级数、泰勒展开等。 题目9：判断级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 的收敛性。 该题考查的是级数的收敛性判断。由于 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 是p级数，其中 $p = 2 > 1$，因此该级数收敛。 题目10：判断级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{n}$ 的收敛性。 该题考查的是交错级数的收敛性。根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。
六、向量空间与线性方程组 向量空间部分主要考查向量的线性组合、基、维数、线性相关性、矩阵的秩、解的结构等。 题目11：设 $U$ 是三维空间中满足 $x + y + z = 0$ 的所有向量构成的子空间，求 $U$ 的基与维数。 该题考查的是向量空间的基与维数的求法。 由于 $x + y + z = 0$，可表示为 $z = -x
- y$，因此向量可表示为 $[x, y, -x
- y]^T = x[1, 0, -1]^T + y[0, 1, -1]^T$。 也是因为这些，基为 $[1, 0, -1]^T$ 和 $[0, 1, -1]^T$，维数为2。 题目12：求解线性方程组 $$ begin{cases} x + y + z = 3 \ 2x + 3y + 4z = 10 \ x + 2y + 3z = 7 end{cases} $$ 该题考查的是线性方程组的解法。解题过程如下： 通过消元法或矩阵方法求解，最终得解为 $x = 1$，$y = 1$，$z = 1$。
七、概率与统计 概率部分主要考查概率的基本概念、条件概率、期望、方差、协方差等。 题目13：设 $A$ 和 $B$ 是两个事件，已知 $P(A) = 0.4$，$P(B) = 0.5$，$P(A cap B) = 0.2$，求 $P(A cup B)$。 该题考查的是概率的加法公式。 根据公式 $P(A cup B) = P(A) + P(B)
- P(A cap B)$，代入得： $0.4 + 0.5
- 0.2 = 0.7$。 题目14：设 $X sim N(0, 1)$，求 $P(X > 1)$。 该题考查的是正态分布的性质。 由于 $X sim N(0, 1)$，$P(X > 1) = 1
- Phi(1)$，其中 $Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。 根据标准正态分布表，$Phi(1) = 0.8413$，因此 $P(X > 1) = 1
- 0.8413 = 0.1587$。
八、综合应用题 综合应用题主要考查考生对多个知识点的综合运用能力，如函数的极限、导数、积分、级数、向量空间、概率等。 题目15：某工厂生产A、B两种产品，每件A产品利润为10元，每件B产品利润为15元。生产A产品需1小时，B产品需2小时。工厂有100小时的生产时间。求最大利润。 该题考查的是线性规划问题。设 $x$ 为A产品数量，$y$ 为B产品数量，目标函数为 $Z = 10x + 15y$，约束条件为： $x + 2y leq 100$，$x, y geq 0$。 通过线性规划求解，得到最大利润为 $Z = 150$ 元，对应 $x = 0$，$y = 50$。
归结起来说 2021年考研数学二真题围绕高等数学、线性代数、概率统计三大模块展开，题型覆盖全面，注重基础与应用的结合。题目难度适中，但部分题目涉及较复杂的计算或应用，对考生的综合能力提出了较高要求。解题过程中，需熟练掌握基本定理、公式，灵活运用计算方法，并注意题意的理解与逻辑推理。对于考生来说呢，备考应注重基础概念的掌握、计算能力的训练以及综合应用题的训练，以提高解题效率和准确率。