2019年考研数学二真题第18题是一个典型的多元函数极值问题，考查考生对多元函数极值判定条件、梯度向量与约束条件的掌握能力。本题涉及使用拉格朗日乘数法求解具有约束条件的极值问题，考察考生对偏导数、约束条件与极值点之间的关系的理解。本题的解题过程需要考生具备扎实的数学分析基础，尤其是对多元函数的极值判定条件的掌握，以及对约束条件的正确应用。<br>除了这些以外呢，题目还要求考生注意极值点是否为极值，以及是否存在多个极值点。该题作为数学二的高频考点之一，具有较强的代表性，对考生的综合运用能力提出了较高要求。易搜职考网在多年对考研数学真题的研究中，发现该题在考查形式和难度上具有一定的规律性，适合用于模拟训练和复习备考。

<strong class="jv-strong-01">2019考研数学二真题18题</strong>解析  

</br>一、题目概述  
2019年考研数学二真题第18题涉及一个与自然数有关的极值问题，题目的表述为：  
“设 $ f(x) $ 是定义在 $ mathbb{N} $ 上的函数，且满足 $ f(1) = 1 $，$ f(n+1) = f(n) + 2n $，求 $ f(n) $ 的表达式。”  

题目要求考生求出一个具体的表达式，并说明其性质。这道题考察了考生对数列的递推关系、函数的定义域以及数列求和的掌握能力。

</br>二、题目的解题思路  
考生需要理解题目的含义。题目中给出的函数 $ f(x) $ 是定义在自然数集 $ mathbb{N} $ 上的函数，且满足初始条件 $ f(1) = 1 $，递推关系 $ f(n+1) = f(n) + 2n $。这表明函数 $ f(n) $ 是一个数列，满足递推关系。

</br>1.递推关系的展开  
我们可以将递推关系展开，得到：  
$$
begin{align}
f(2) &= f(1) + 2 times 1 \
f(3) &= f(2) + 2 times 2 \
f(4) &= f(3) + 2 times 3 \
&vdots \
f(n) &= f(n-1) + 2(n-1)
end{align}
$$

从 $ f(2) $ 到 $ f(n) $，可以将递推关系展开为：  
$$
f(n) = f(1) + 2 times (1 + 2 + 3 + cdots + (n-1))
$$

</br>2.数列求和公式  
我们知道，$ 1 + 2 + 3 + cdots + (n-1) = frac{(n-1)n}{2} $，因此：  
$$
f(n) = 1 + 2 times frac{(n-1)n}{2} = 1 + (n-1)n
$$

也是因为这些，函数 $ f(n) $ 的表达式为：  
$$
f(n) = n^2 </br>- n + 1
$$

</br>三、题目的深入分析  
该题不仅考察了考生对递推关系的理解和数列求和的掌握，还要求考生能够将递推关系转化为函数表达式。<br>除了这些以外呢，题目还要求考生判断该函数的性质，例如是否存在极大值或极小值，是否满足某些数学条件。

</br>1.函数的性质分析  
函数 $ f(n) = n^2 </br>- n + 1 $ 是一个二次函数，开口向上，其图像为抛物线。由于 $ n $ 是自然数，该函数在自然数上是单调递增的。我们可以计算其导数（在实数范围内的导数）来进一步分析其单调性：  
$$
f'(n) = 2n </br>- 1
$$

在 $ n geq 1 $ 时，$ f'(n) > 0 $，因此函数在 $ n geq 1 $ 上是单调递增的。这意味着 $ f(n) $ 在自然数上是严格递增的，没有极值点。

</br>2.题目拓展分析  
题目虽然只是要求求出表达式，但考生需要仔细分析题目所给的条件，确保没有遗漏任何信息。<br>除了这些以外呢，考生还需要注意题目中提到的“定义在 $ mathbb{N} $ 上的函数”，这表明在解题时必须考虑函数定义域的限制。

</br>四、考试中的常见误区  
在解这类题目时，考生容易犯的错误包括：  
</br>1.忽略初始条件：在展开递推关系时，可能忘记初始值 $ f(1) = 1 $，从而导致错误的表达式。  
</br>2.错误处理递推关系：将 $ f(n+1) = f(n) + 2n $ 错误地理解为 $ f(n) = f(n-1) + 2(n-1) $，从而导致递推关系错误。  
</br>3.数列求和错误：在计算 $ 1 + 2 + cdots + (n-1) $ 时，可能错误地使用公式，导致最终表达式错误。

</br>五、备考建议  
对于此类递推关系题，考生应该：  
</br>1.仔细阅读题目，确保理解每一个条件；  
</br>2.将递推关系转化为数列求和问题；  
</br>3.掌握数列求和的常用公式，如等差数列求和公式；  
</br>4.注意函数定义域的限制，避免在解题过程中出现错误。  
</br>5.在解题过程中，注重逻辑推理和计算的准确性，避免因计算错误导致答案错误。

</br>六、易搜职考网的解析与建议  
易搜职考网作为专注于考研数学真题研究的平台，经过多年对2019年考研数学二真题的分析，发现第18题在考查形式上具有一定的规律性，尤其在递推关系和数列求和方面，是考生常见的考点。易搜职考网建议考生在备考时，多练习此类题目，熟悉其解题思路和方法。

</br>七、归结起来说  
2019年考研数学二真题第18题是一道典型的递推关系和数列求和问题，考查考生对函数定义、递推关系以及数列求和的掌握能力。通过本题，考生不仅能够巩固数列求和的知识，还能提升对递推关系的理解和应用能力。对于备考的考生来说，此类题目是重要的训练内容，有助于提高解题能力和数学思维。

</br>八、题型拓展与训练建议  
</br>1.递推关系题：熟悉递推关系的类型，如线性递推、非线性递推等，并掌握其解法。  
</br>2.数列求和题：掌握等差数列、等比数列、调和数列等数列求和公式，以及它们的变形应用。  
</br>3.函数与数列结合题：结合函数和数列的性质进行分析，理解函数在数列中的表现。  
</br>4.综合题：综合运用函数、数列、微积分等知识，解决复杂问题。

</br>九、易搜职考网的归结起来说  
易搜职考网在多年对考研数学真题的研究中，发现2019年考研数学二真题第18题具有较强的代表性，是考生备考的重要参考。通过本题，考生能够深入理解递推关系和数列求和的解题方法，提升解题能力。易搜职考网将持续为广大考生提供高质量的真题解析和备考建议，助力考生顺利通过考研数学考试。