2018考研数三18题详解(2018数三18题详解)

2018年考研数学三第18题是高等数学中一个典型的多变量函数极值问题，考察了函数的极值、导数的应用以及边界条件的分析。该题涉及多元函数的极值判定、偏导数的计算以及约束条件下的极值问题，综合性较强，对考生的计算能力和逻辑推理能力提出了较高要求。题目的核心在于理解函数在多变量条件下的极值性质，通过对函数的导数和边界条件的分析，判断函数是否存在极值点，并确定其类型。该题在考研数学中具有代表性，是考生在备考过程中必须掌握的重要知识点，也是历年真题中常出现的典型题目之一。在备考过程中，考生应重点掌握多元函数极值的判定方法，熟练运用偏导数和梯度向量的概念，同时注意边界条件的处理方法。易搜职考网作为考研数三辅导的权威平台，长期致力于解析此类高难度题目，帮助考生系统掌握解题思路和方法。 2018考研数三第18题详解

2018年考研数学三第18题是关于多元函数极值问题的一道典型题目，考察了考生对多元函数极值的判定方法，以及对约束条件的处理能力。题目要求考生求解函数 $ f(x, y) = frac{e^{x^2 + y^2}}{x^2 + y^2 + 1} $ 在区域 $ x^2 + y^2 leq 1 $ 上的极值。题目不但考察了考生对多元函数极值的基本概念的理解，还要求考生能够运用偏导数和约束条件的分析方法，判断极值的存在性与类型。

题目要求求解的是函数在闭区域 $ x^2 + y^2 leq 1 $ 上的极值。由于该区域是闭合区域，根据极值存在的定理，函数在闭区域上必然存在极值。由于该函数在区域内部可能不存在极值点，因此需要进一步分析函数的极值点以及边界上的极值。

为了求解该函数的极值，首先计算其偏导数。设 $ f(x, y) = frac{e^{x^2 + y^2}}{x^2 + y^2 + 1} $，则其偏导数为：

$$ frac{partial f}{partial x} = frac{2x e^{x^2 + y^2}(x^2 + y^2 + 1)
- e^{x^2 + y^2}(2x)}{(x^2 + y^2 + 1)^2} = frac{2x e^{x^2 + y^2}(x^2 + y^2 + 1)
- 2x e^{x^2 + y^2}}{(x^2 + y^2 + 1)^2} $$ $$ = frac{2x e^{x^2 + y^2}(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2 + 1)^2} $$ 同样地，计算 $frac{partial f}{partial y}$ 也得到类似的结果： $$ frac{partial f}{partial y} = frac{2y e^{x^2 + y^2}(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2 + 1)^2} $$ 令偏导数等于零，求解极值点。由于函数在 $ x^2 + y^2 = 0 $ 时取得极值，即当 $ x = 0, y = 0 $ 时，函数值为 $ f(0, 0) = frac{e^0}{0 + 1} = 1 $。
也是因为这些，该点是函数的一个极值点。

不过，题目还要求判断函数在区域上的极值是否存在，并判断其类型。为此，我们需要考虑函数在闭区域上的极值是否存在，以及是否存在极值点。

函数在区域 $ x^2 + y^2 leq 1 $ 上的主极值点为 $ (0, 0) $，其函数值为 1。我们需要判断这个极值点是否为极大值或极小值。为此，可以考虑使用拉格朗日乘数法，或者对函数进行进一步分析。

我们可以考虑函数的梯度向量，即 $ nabla f = left( frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y} right) $。在 $ (0, 0) $ 处，梯度向量为 $ (0, 0) $，表明该点是函数的临界点。进一步分析函数在该点的二阶导数，可以判断极值类型。

为了进一步判断极值点的类型，我们可以使用二阶导数测试。设 $ f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处有极值，计算函数的二阶导数，判断其是否为极大值或极小值。

对于函数 $ f(x, y) $，在 $ (0, 0) $ 处的二阶导数为：

$$ frac{partial^2 f}{partial x^2} = frac{2 e^{x^2 + y^2}(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2 + 1)^3} cdot (x^2 + y^2 + 1)
- frac{2x e^{x^2 + y^2}(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2 + 1)^2} $$ $$ = frac{2 e^{x^2 + y^2}(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2 + 1)^2} cdot (x^2 + y^2 + 1)
- frac{2x e^{x^2 + y^2}(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2 + 1)^2} $$ $$ = frac{2 e^{x^2 + y^2}(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 + 1)
- 2x e^{x^2 + y^2}(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2 + 1)^2} $$ 在 $ (0, 0) $ 处，代入得到： $$ frac{2 e^{0}(0)(0 + 1)
- 0}{(0 + 1)^2} = 0 $$ 同理，可以计算出 $frac{partial^2 f}{partial y^2} = 0$，以及二阶混合导数 $ frac{partial^2 f}{partial x partial y} = 0 $。
也是因为这些，函数在 $ (0, 0) $ 处的二阶导数均为零，无法直接判断极值类型，需要进一步分析。

为了进一步判断极值类型，可以考虑利用函数的极限性质。
例如，考虑函数在区域内的行为，函数在 $ x^2 + y^2 = 1 $ 时的值为： $$ f(1, 0) = frac{e^{1 + 0}}{1 + 1} = frac{e}{2}, quad f(0, 1) = frac{e}{2} $$ 而函数在 $ (0, 0) $ 处的值为 1，显然小于这些值。
也是因为这些，函数在 $ (0, 0) $ 处取得极小值，而函数在边界上取得的极值更大。
也是因为这些，该函数在闭区域 $ x^2 + y^2 leq 1 $ 上的极小值为 1，出现在 $ (0, 0) $ 处。

我们考虑函数在边界上的极值。由于函数在闭区域上存在极值，而极小值出现在 $ (0, 0) $ 处，因此该函数在闭区域上的极小值为 1。

，2018年考研数学三第18题的解题过程主要包括以下几个步骤：

1.确定函数的极值点，计算偏导数并求解临界点；
2.判断极值点是否存在，是否为极值点；
3.判断极值点的类型，如极大值、极小值或无极值；
4.分析边界上的极值，确定整体极值；
5.最终确定函数在闭区域上的极值。

通过上述分析可以看出，该题考察了考生对多元函数极值的判定方法，以及对边界条件的处理能力。在解题过程中，考生需要熟练掌握偏导数的计算方法，以及二阶导数测试的使用，同时注意函数在边界上的行为，以全面判断极值的存在性与类型。

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