年数学一考研真题（2018数学一真题）权威解析与深度备考指南

〔数学分析模块〕

2018年数学一考研真题数学分析部分共72分，占总分48%，是难度与分值最高的模块。本模块以“概念理解+计算能力+逻辑推导”三重维度展开考查。

函数与极限（选择题第1题、填空题第9题）

第1题考查无穷小阶的比较：设α(x) = x
- sin x，β(x) = x² ln(1
- x)，则当x → 0时，α(x)是β(x)的（ ）
A. 高阶无穷小　B. 等价无穷小　C. 同阶但不等价无穷小　D. 低阶无穷小

解题关键：利用泰勒展开
sin x = x
- x³/6 + o(x³)，故α(x) = x³/6 + o(x³)；
ln(1
- x) = -x
- x²/2
- x³/3 + o(x³)，故β(x) = x²(-x + o(x)) = -x³ + o(x³)
因此α(x)/β(x) → -1/6，选C。

第9题为填空题：计算lim_x→0 (e^x
- 1
- x)/x²。该题属“1^∞型”变体，需两次洛必达或泰勒展开至x²项，正确答案为1/2。值得注意的是，部分考生误用e^x ≈ 1 + x导致结果为0，暴露对展开阶数的忽视。

元函数微分学（解答题第17题）

第17题：设函数f(x) = x³ + ax² + bx + c在x = 1处取得极小值-4，且f''(1) = 6，求a, b, c的值。

解题路径：
① 由极值必要条件：f'(1) = 3(1)² + 2a(1) + b = 0 → 3 + 2a + b = 0①
② 由极小值条件：f''(1) = 6(1) + 2a = 6 → a = 0②
③ 代入①得b = -3；
④ 由f(1) = 1 + a + b + c = -4，代入a=0, b=-3得c = -2
最终答案：a=0, b=-3, c=-2

本题是典型的“三条件确定三未知数”问题，但部分考生忽略f''(1) > 0的充分性验证，直接假设极小值成立，导致逻辑漏洞。事实上，由f''(1)=6>0已隐含极小值成立，无需额外说明。

元函数积分学（解答题第19题）

第19题：计算二重积分∬_D (x + y) dxdy，其中D由y = x²与y = √x围成。

解题关键：
① 确定积分区域：D = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ √x}
② 交换积分次序：原式 = ∫₀¹ dx ∫_x²^√x (x + y) dy
③ 先对y积分：
∫_x²^√x (x + y) dy = [xy + y²/2]_x²^√x = x√x + x/2
- x³
- x⁴/2
④ 再对x积分：
∫₀¹ (x^3/2 + x/2
- x³
- x⁴/2) dx = [2x^5/2/5 + x²/4
- x⁴/4
- x⁵/10]₀¹ = 2/5 + 1/4
- 1/4
- 1/10 = 3/10

本题易错点在于积分上下限混淆。部分考生误将y的范围写为0 ≤ y ≤ 1, y² ≤ x ≤ √y，但未验证区域对称性，导致积分结果错误。正确做法应先画出区域草图，确认交点为(0,0)和(1,1)。

多元函数微分学（解答题第20题）

第20题：设z = f(u, v)，其中u = x²
- y²，v = xy，且f具有一阶连续偏导数，求∂²z/∂x∂y。

解题步骤：
① 一阶偏导：
∂z/∂x = f₁'·∂u/∂x + f₂'·∂v/∂x = f₁'·2x + f₂'·y
② 对y求偏导（注意f₁'与f₂'仍是u,v的函数）：
∂²z/∂x∂y = ∂/∂y [2x f₁' + y f₂']
= 2x (f₁₁''·∂u/∂y + f₁₂''·∂v/∂y) + f₂' + y (f₂₁''·∂u/∂y + f₂₂''·∂v/∂y)
= 2x (f₁₁''·(-2y) + f₁₂''·x) + f₂' + y (f₁₂''·(-2y) + f₂₂''·x)
= -4xy f₁₁'' + 2x² f₁₂'' + f₂'
- 2y² f₁₂'' + xy f₂₂''
= f₂' + 2x² f₁₂''
- 2y² f₁₂''
- 4xy f₁₁'' + xy f₂₂''
= f₂' + 2(x²
- y²) f₁₂''
- 4xy f₁₁'' + xy f₂₂''

本题是链式法则的典型综合应用。常见错误包括：① 忽略f₁'对y的依赖性；② 混淆二阶混合偏导的记号（如将∂f₁'/∂y误写为f₁''）。根据阅卷反馈，本题平均得分仅4.2/11分。