多元函数微分与积分（解答题1、2）

考查二元函数极值、偏导数、重积分等，强调几何直观与代数运算结合。

• 例3（解答题第1题）：设z = f(x²
  - y², e^xy)，f具有一阶连续偏导数，求∂z/∂x与∂z/∂y。

解析：令u = x²
- y²，v = e^xy，则z = f(u, v)。

∂z/∂x = f'₁·∂u/∂x + f'₂·∂v/∂x = f'₁·2x + f'₂·ye^xy

∂z/∂y = f'₁·(-2y) + f'₂·xe^xy = -2y f'₁ + x e^xy f'₂

关键点：复合函数链式法则应用，注意中间变量的偏导计算顺序与符号。

• 例4（解答题第2题）：计算二重积分∫∫_D (x + y) dxdy，其中D由x² + y² ≤ 2x围成。

解析：D为圆(x-1)² + y² ≤ 1，中心(1,0)，半径1。利用极坐标：x = r cosθ + 1，y = r sinθ，dxdy = r dr dθ，r ∈ [0, 2cosθ]，θ ∈ [-π/2, π/2]。

原式 = ∫_-π/2^π/2 ∫₀^2cosθ (r cosθ + 1 + r sinθ) · r dr dθ

拆分为三项积分，其中含sinθ的项关于θ奇函数积分为0；含cosθ与常数项分别计算：

最终结果为3π/2。本题考察坐标变换能力，注意积分区域的几何特征简化运算。

级数与幂级数（选择题第8题，解答题第4题）

考查收敛性判别、和函数求法，突出分析能力。

• 例5（选择题第8题）：幂级数∑_n=1^∞ (x-1)ⁿ / [n·2ⁿ]的收敛半径R = ?

解析：令u = x
- 1，级数变为∑ uⁿ / (n·2ⁿ)。用比值法：lim |a_n+1/a_n| = lim [n·2ⁿ] / [(n+1)·2ⁿ⁺¹] = 1/2。故收敛半径R = 2。即|x-1| < 2时收敛，收敛区间为(-1, 3)。

• 例6（解答题第4题）：求幂级数∑_n=0^∞ (n+2)xⁿ的和函数S(x)。

解析：注意到∑_n=0^∞ xⁿ = 1/(1-x)（|x|<1），两边求导得∑_n=1^∞ n x^n-1 = 1/(1-x)²，即∑_n=0^∞ (n+1)xⁿ = 1/(1-x)²。

再求导：∑_n=1^∞ n(n+1)x^n-1 = 2/(1-x)³，即∑_n=0^∞ (n+1)(n+2)xⁿ = 2/(1-x)³。

但本题为∑ (n+2)xⁿ = ∑ [(n+1) + 1]xⁿ = ∑(n+1)xⁿ + ∑xⁿ = 1/(1-x)² + 1/(1-x) = (2
- x)/(1-x)²（|x|<1）。

结论：S(x) = (2
- x)/(1
- x)²，x ∈ (-1, 1)。

线性方程组与矩阵的秩（解答题第5题）

• 例8（解答题第5题）：设线性方程组：
  x₁ + x₂ + λx₃ = 4
  -x₁ + λx₂ + x₃ = λ²
  x₁
  - x₂ + x₃ = 2
  讨论λ取何值时，方程组：(1)无解；(2)有唯一解；(3)有无穷多解，并求通解。

解析：系数矩阵A与增广矩阵B的秩决定解的情况。

[A|b] = [ 1 1 λ | 4 ] [-1 λ 1 | λ² ] [ 1 -1 1 | 2 ]

行变换：R₂+R₁, R₃-R₁得： [ 1 1 λ | 4 ] [ 0 λ+1 λ+1 | λ²+4 ] [ 0 -2 1-λ | -2 ]

继续化简，对λ+1分情况：若λ ≠ -1，可继续消元；若λ = -1，则第二行变为[0 0 0 | 5]，矛盾，无解。

计算行列式|A| = |1 1 λ| |-1 λ 1| = λ³
- 3λ + 2 = (λ-1)²(λ+2) |1 -1 1|

故：
当λ ≠ 1且λ ≠ -2时，|A| ≠ 0，唯一解；
当λ = 1时，|A|=0，秩(A)=秩(B)=2 < 3，无穷多解；
当λ = -2时，|A|=0，秩(A)=2，秩(B)=3，无解。

结论：λ = -2时无解；λ = 1时无穷多解；其余情况唯一解。

特征值与二次型（填空题第5题，解答题第6题）

• 例9（填空题第5题）：设3阶矩阵A的特征值为1, -1, 2，则|A² + E| = ?

解析：若λ是A的特征值，则λ² + 1是A² + E的特征值。

故特征值为：1²+1=2，(-1)²+1=2，2²+1=5。

行列式等于特征值乘积：|A² + E| = 2 × 2 × 5 = 20。

• 例10（解答题第6题）：设二次型f(x₁,x₂,x₃) = x^TAx，A的迹为3，且|A + E| = 0，|A + 2E| = 0，求正惯性指数。

解析：由|A + E| = 0 ⇒ -1是A的特征值；|A + 2E| = 0 ⇒ -2是A的特征值。

设第三个特征值为λ，则迹tr(A) = -1 + (-2) + λ = 3 ⇒ λ = 6。

故特征值为：-1, -2, 6 ⇒ 正特征值1个，负特征值2个。

正惯性指数 = 正特征值个数 = 1。

数字特征（填空题第6题，选择题第10题）

• 例13（填空题第6题）：设X ~ B(4, 1/3)，则E(X²) = ?

解析：E(X) = np = 4/3，D(X) = np(1-p) = 4×(1/3)×(2/3) = 8/9。

由D(X) = E(X²)
- [E(X)]² ⇒ E(X²) = D(X) + [E(X)]² = 8/9 + (16/9) = 24/9 = 8/3。

• 例14（选择题第10题）：设X,Y独立同分布，E(X)=μ, D(X)=σ²，则D(|X-Y|) = ?（选项含表达式）

解析：令Z = X
- Y，则E(Z) = 0，D(Z) = D(X) + D(Y) = 2σ²。

但|Z|的方差需计算E(|Z|)与E(Z²)。若X,Y为正态，则Z~N(0,2σ²)，|Z|服从瑞利分布，E(|Z|)=σ√(4/π)，D(|Z|)=σ²(2
- 4/π)。

本题若未指定分布，无法精确计算，但选项中常以σ²的函数形式出现。2015年真题中实际为正态分布假设。

大数定律与中心极限定理（解答题第4题）

• 例15（解答题第4题）：设X₁,...,X_n独立同分布，P(X_i=1)=p, P(X_i=0)=1-p，令Y_n = (X₁+...+X_n)/n，用切比雪夫不等式估计P(|Y_n
  - p| ≥ 0.1) ≤ ?

解析：E(Y_n) = p，D(Y_n) = D(X̄) = D(X)/n = p(1-p)/n ≤ 1/(4n)（因p(1-p)≤1/4）。

切比雪夫不等式：P(|Y_n
- p| ≥ ε) ≤ D(Y_n)/ε² ≤ [1/(4n)] / (0.1)² = 1/(0.04n) = 25/n。

故P(|Y_n
- p| ≥ 0.1) ≤ 25/n。

应用意义：当n≥250时，概率≤0.1，即样本均值以高概率接近p，体现大数定律的量化表达。