2014年数学三考研第14题主要考察的是多元函数在给定条件下的极值问题。题目给出一个函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + 1 $，并要求在区域 $ D = {(x, y) mid x^2 + y^2 leq 1} $ 上求其极值。该题核心在于求函数在闭合区域上的极值，并判断极值点的类型。
我们需要明确题目的条件和目标。题目给出的函数是 $ f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + 1 $，我们要求在单位圆 $ x^2 + y^2 leq 1 $ 上求其极值。由于函数在闭合区域上连续且可微，因此根据极值存在的条件，函数在闭合区域内一定存在极值。我们需要通过求偏导数、判断极值点类型以及考虑边界情况来完成解题。
我们计算函数在区域 $ D $ 上的偏导数：
计算偏导数：
$$ frac{partial f}{partial x} = 2x - 2y \ frac{partial f}{partial y} = 2y - 2x $$我们求出偏导数为零的点，即极值点的候选点：
$$ 2x - 2y = 0 Rightarrow x = y \ 2y - 2x = 0 Rightarrow y = x $$由以上两个方程可得，极值点的候选点为 $ (x, y) = (a, a) $，其中 $ a $ 是任意实数。将 $ x = y = a $ 代入原函数，得到：
$$ f(a, a) = a^2 + a^2 - 2a cdot a + 1 = 2a^2 - 2a^2 + 1 = 1 $$也是因为这些，函数在区域 $ D $ 上的极值点为 $ (a, a) $，且该点的函数值为 1。我们需要判断该极值点是否为极小值点，或者是否为极大值点。
我们计算函数在该点的二阶导数，以判断极值点的类型：
计算二阶导数：
$$ frac{partial^2 f}{partial x^2} = 2 \ frac{partial^2 f}{partial y^2} = 2 \ frac{partial^2 f}{partial x partial y} = -2 $$根据二阶导数的判别法，我们计算函数在点 $ (a, a) $ 处的二阶导数行列式：
$$ D = frac{partial^2 f}{partial x^2} cdot frac{partial^2 f}{partial y^2} - left( frac{partial^2 f}{partial x partial y} right)^2 = 2 cdot 2 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0 $$由于行列式 $ D = 0 $，说明该点不是极值点，而是鞍点。
也是因为这些，函数在区域 $ D $ 上的极值点为函数值 1，但该点不是极值点，而是鞍点。
我们需要考虑函数在区域 $ D $ 上的边界情况。由于区域 $ D $ 是单位圆，我们考虑边界 $ x^2 + y^2 = 1 $ 上的函数值。
边界分析：
在边界 $ x^2 + y^2 = 1 $ 上，我们可以利用参数方程来表示边界，例如令 $ x = cos theta $，$ y = sin theta $，其中 $ theta in [0, 2pi) $。将这些代入函数中，得到： $$ f(cos theta, sin theta) = cos^2 theta + sin^2 theta - 2 cos theta sin theta + 1 = 1 - sin 2theta + 1 = 2 - sin 2theta $$也是因为这些，函数在边界上的最大值和最小值分别出现在 $ sin 2theta = 1 $ 和 $ sin 2theta = -1 $ 时，即最大值为 $ 2 - 1 = 1 $，最小值为 $ 2 - (-1) = 3 $。
也是因为这些，在边界上，函数的极值分别为 1 和 3。
，函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + 1 $ 在单位圆 $ x^2 + y^2 leq 1 $ 上的极值情况如下：
也是因为这些，函数在区域 $ D $ 上的极值为 1，但该点不是极值点，而是鞍点，而边界上存在更小的极值。
在解这道题时，我们需要注意以下几点：
该题的解题过程体现了考生对多元函数极值的综合理解和应用能力，是考研数学中一个典型的极值问题。对于考生来说呢，掌握这类题目的解题思路和方法，有助于提高解决类似问题的能力。
在备考过程中，易搜职考网建议考生多做类似的题目，加强对多元函数极值问题的理解，掌握其解题思路和方法。
于此同时呢，建议考生多做一些真题，熟悉题型和解题思路，提高解题速度和准确率。
2014年数学三考研第14题是一道典型的极值问题，考查的是考生对多元函数极值的判断能力。通过本题，我们可以看到，极值问题在数学分析中具有重要的地位，也是考研数学的重要考点之一。考生在备考过程中，应注重对这类题目的理解和掌握。