全面掌握多元函数极值判定、边界极值求解与拉格朗日乘数法应用｜真题精讲｜易搜职考网
设函数 2011考研数学一第19题 给出函数 f(x, y) = x² + y² − 2xy + 4x − 6y + 10，求其在区域 D = {(x, y) ∈ ℝ² ∣ x² + y² ≤ 10} 上的最大值与最小值。
该题为2011考研数学一第19题，属于多元函数微分学综合应用题，涵盖极值存在性判定、无约束极值求解、边界极值分析及约束极值方法（拉格朗日乘数法）等核心知识点，是考研数学一中高频重点题型的典型代表。
观察原函数：
f(x, y) = x² + y² − 2xy + 4x − 6y + 10
注意到前三项构成完全平方：
x² − 2xy + y² = (x − y)²
因此可改写为：
f(x, y) = (x − y)² + 4x − 6y + 10
此变形显著提升后续计算效率：一方面突出非负项 (x − y)²，另一方面为后续令 u = x − y 降维铺垫。
对简化后函数求一阶偏导：
∂f/∂x = 2(x − y) + 4
∂f/∂y = −2(x − y) − 6
令偏导数为零，建立方程组：
{(x − y) + 4 = 0 −2(x − y) − 6 = 0 }
解第一个方程得：x − y = −2，代入第二个方程：
−2(−2) − 6 = 4 − 6 = −2 ≠ 0
结论：方程组无解 → 2011考研数学一第19题 在区域 D 内部无临界点
根据2011考研数学一第19题的解题逻辑，关键定理如下：
因此，后续分析只需聚焦边界 x² + y² = 10 上的函数行为。
部分考生误认为“无临界点=无极值”，忽略闭区域上最值可能在边界取得。本题正是通过此陷阱考查对2011考研数学一第19题所涉定理的理解深度。务必谨记：极值点 ≠ 临界点，边界点也可能是极值点。
边界为单位圆缩放：令 x = √10 cosθ, y = √10 sinθ，θ ∈ [0, 2π)
代入原函数得边界函数：
f(θ) = (√10 cosθ − √10 sinθ)² + 4√10 cosθ − 6√10 sinθ + 10
化简：
= 10(cosθ − sinθ)² + 4√10 cosθ − 6√10 sinθ + 10
利用恒等式：(cosθ − sinθ)² = 1 − sin2θ，但更优策略是直接代入关键角度求值比较：
选取四个典型点进行计算：
| θ | x | y | f(x,y) |
|---|---|---|---|
| 0 | √10 | 0 | (√10)² + 4√10 + 10 = 20 + 4√10 ≈ 32.649 |
| π/4 | √5 | √5 | 0 − 2√5 + 10 ≈ 5.528 |
| π/2 | 0 | √10 | 10 − 6√10 + 10 = 20 − 6√10 ≈ −0.954 |
| π | −√10 | 0 | 10 − 4√10 + 10 = 20 − 4√10 ≈ 7.351 |
初步判断：2011考研数学一第19题 最大值在 θ=0 处，最小值在 θ=π/2 处。但需进一步严格验证。
设约束函数 g(x, y) = x² + y² − 10 = 0，构造拉格朗日函数：
L(x, y, λ) = f(x, y) − λg(x, y)
求偏导并令为零：
{ ∂L/∂x = 2(x−y)+4 − 2λx = 0 (1) ∂L/∂y = −2(x−y)−6 − 2λy = 0 (2) ∂L/∂λ = −(x²+y²−10) = 0 (3) }
将(1)与(2)相加：
[2(x−y)+4] + [−2(x−y)−6] = 2λx + 2λy ⇒ −2 = 2λ(x+y)
得：λ(x + y) = −1，即 x + y ≠ 0 且 λ = −1/(x+y)
将(1)×y 与 (2)×x 相减：
y[2(x−y)+4] − x[−2(x−y)−6] = 0
展开并整理：
y(x−y) + 4y + 2x(x−y) + 6x = 0
= 2(x−y)(x+y) + 4y + 6x = 0
= 2(x²−y²) + 6x + 4y = 0
⇒ x² − y² + 3x + 2y = 0
结合约束 x² + y² = 10，联立求解：
{ x² − y² = −3x − 2y x² + y² = 10 }
相加得：2x² = −3x − 2y + 10；相减得：2y² = 3x + 2y + 10
通过代入法可得四组实数解（过程略），验证后确认：
扩展至多元：∇f = λ₁∇g₁ + λ₂∇g₂ + ⋯
| 概念 | 定义 | 是否必为极值点 |
|---|---|---|
| 临界点 | 梯度为零或不可微点 | 否（可能为鞍点） |
| 极值点 | 邻域内函数值最大/最小 | 是（若可微则必为临界点） |
| 驻点 | 梯度为零的点 | 否（需二阶检验） |
Δ = f_xx f_yy − (f_xy)²
∇f = λ∇g
x = r cosθ, y = r sinθ (r固定)
x² ± 2xy + y² = (x ± y)²
2011考研数学一第19题 的解题关键点在于极值定理的逆向应用：由于函数在闭区域 D 上连续，根据极值定理，必存在最大值和最小值；又因函数在开区域 D° 内可微且无临界点（即内部无驻点），而可微函数的内部极值点必为驻点，因此所有极值只能在边界 ∂D 上取得。这一逻辑链条是解答本题的理论基石。
针对2011考研数学一第19题这类题型，可采用“三步速判法”：
① 检查函数是否为多项式（是→处处可微）；
② 解一阶偏导方程组；
③ 若方程组无解→内部无极值点。
特别注意：若方程组有唯一解，还需二阶检验确认是否为极值点。
选择策略：
• 当边界为圆/椭圆等标准二次曲线 → 参数法更高效（如本题）
• 当约束条件复杂或为多个约束 → 拉格朗日乘数法更系统
• 当边界可分段表示（如多边形）→ 分段用参数法
对2011考研数学一第19题，因边界是圆，参数法计算量更小，但拉格朗日法可作为验证手段。
并非必需。对于2011考研数学一第19题这类单约束问题，参数法往往更直接；拉格朗日乘数法的优势在于：
• 约束条件难以显式参数化时
• 多约束条件问题
• 高维空间问题（三元及以上）
建议掌握两种方法，根据题型灵活选择。
针对2011考研数学一第19题的典型错误点，推荐：
① 偏导计算时先写全微分：df = [2(x−y)+4]dx + [−2(x−y)−6]dy；
② 拉格朗日方程中统一符号：用 L = f − λg 避免漏负号；
③ 关键步骤用数值代入验证（如令 x=1,y=0 计算偏导值）。
策略：
• 2011考研数学一第19题中，将两个方程相加/相减消元是关键技巧；
• 若出现 λ=0 的特殊情况，需单独讨论；
• 当解析解复杂时，可结合数值估算辅助判断（如代入特殊角度）；
• 考试允许保留根式形式（如 √10），无需近似计算。