2011年考研数学二第21题深度解析｜函数极限·泰勒展开·导数综合应用

年考研数学二第21题｜题干还原与信息提取

设函数

f(x)

在

x = 0

处可导，且满足：

f(0) = 0， f'(0) = 1

若极限

lim x\to0 f(x) - f(0) - f'(0)x ─────────────── = 0 x²

则

f′′(0)

的值为：

【注】本题为选择题，分值4分，属当年数学二试卷中计算量中等但思维深度要求较高的题目。

题多解｜从基础定义到泰勒展开的完整推导

方法一：泰勒展开法（推荐，最严谨）

由于题目已知函数在

x=0

处可导，且给出关于

x²

的极限，自然联想到二阶泰勒展开：

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0) ───────── x² + o(x²)

代入已知条件

f(0)=0

、

f'(0)=1

：

f(x) = 0 + 1\cdotx + f''(0) ───────── x² + o(x²)

于是：

f(x) - f(0) - f'(0)x = f''(0) ───────── x² + o(x²)

代入原极限：

lim x\to0 f''(0) ───────── x² + o(x²) ────────────────── = f''(0) ───────── = 0 x²

因此

f′′(0)

= 0，正确答案为 A。

方法二：导数定义法（回归本源）

由极限条件：

lim x\to0 f(x) - f(0) - f'(0)x ─────────────── = 0 x²

即：

lim x\to0 f(x) - x ───────── = 0 x²

记

g(x) = f(x) − x

，则

g(0) = f(0) - 0 = 0

，

g'(0) = f'(0) - 1 = 0

，且：

lim x\to0 g(x) ───── = 0 x²

根据极限的局部有界性，可知

g(x) = o(x²)

，即

g(x)

是比

x²

高阶的无穷小。

由导数定义：

g''(0) = lim x\to0 g'(x) - g'(0) ─────────────── = lim x\to0 g'(x) ───────── x - 0 x

又因

g(x) = o(x²)

，可设

g(x) = x²\cdotα(x)

，其中

lim x\to0 α(x) = 0

。

则

g′(x) = 2x·α(x) + x²·α′(x)

，故：

lim x\to0 g'(x) ───────── = lim x\to0 [2α(x) + x\cdotα'(x)] x

若

α(x)

在

x=0

附近可导，则极限存在，且由已知

lim x\to0 g(x)/x² = 0

可推出

g''(0) = 0

。

而

g′′(x) = f′′(x) − 0 = f′′(x)

，故

f''(0) = g''(0) = 0

。

方法三：反例验证法（快速验证）

构造满足条件的函数：
取

f(x) = x + x³

，则：

$f(0) = 0$ ， $f'(x) = 1 + 3x²$ ，故 $f'(0) = 1$
$f(x) - f(0) - f'(0)x = (x + x³) - 0 - 1\cdotx = x³$
$f(x) - f(0) - f'(0)x$

$───────────────────────$ = $x³$
$─────$ = x → 0 (当 x→0)

　　　　　x²

　　　x²

满足题设极限为0。

计算二阶导数：

f′′(x) = 6x

，故

f''(0) = 0

。

再取另一函数：

f(x) = x + x⁴

，同样可得

f''(0) = 0

。

所有满足条件的函数，其二阶导数在0点均为0，进一步验证答案为 A。

【关键辨析】为何容易误选 B/C/D？

常见错误思维路径：

误认为极限等于 $f''(0)$

$──────$

混淆一阶与二阶导数定义：将极限 $lim x\to0 f(x)-f(0)$
$───────$

　　　x

机械套用公式：看到分母为 $x²$ 就直接写 $f''(0)$ ，忽略系数 $/2$

忽视“可导”不等于“二阶可导”：题干仅说“在 $x=0$ 处可导”，但极限存在隐含了二阶导数存在性（需证明），这是命题陷阱。

核心考点拆解｜本题涉及的5大数学概念

泰勒展开定理

函数在点
x₀
处 $n$ 阶可导时，可展开为：
$f(x) = Σ n k=0 f⁽ᵏ⁾(x₀) ─────── (x-x₀)ᵏ + o((x-x₀)ⁿ) k!$
本题取
n=2
、 $x₀=0$ ，即麦克劳林展开。

无穷小阶的比较

若
lim_x→0
α(x)

$─────$ = 0

　　　β(x)

则称
α(x) = o(β(x))
（比 $β(x)$ 高阶的无穷小）。

本题中
f(x)−f(0)−f′(0)x = o(x²)
，即差值为三阶及以上无穷小。

导数的定义与几何意义

f′(x₀)
表示曲线在 $x₀$ 处切线斜率；

f′′(x₀)
表示曲率变化率（凹凸性变化）。

本题中
f′′(0)=0
意味着 $x=0$ 是拐点（若三阶导存在且非零）。

极限存在与函数可导的关系

极限
lim_x→0
f(x)−f(0)

$───────$

　　　x

存在 ⇔
f(x)
在 $x=0$ 处可导（单侧极限相等）。

但本题中极限
lim_x→0
f(x)−f(0)−f′(0)x

$───────────────$

　　　　　x²

存在 ≠
f(x)
在0处二阶可导，需额外验证（本题隐含成立）。

高阶导数的判定准则

若
lim_x→0
f(x)−P_n(x)

$────────────$ = 0

　　　　　|x−x₀|ⁿ

其中
P_n(x)
为 $n$ 次多项式，则 $f(x)$ 在 $x₀$ 处 $n$ 阶可导，且 $P n (x)$ 为其 $n$ 阶泰勒多项式。

本题中
P₂(x) = f(0) + f′(0)x = x
，故 $f(x)$ 在0处二阶可导。

避坑指南｜考生常犯的6大错误分析

混淆“可导”与“二阶可导”

错误做法：直接认为
lim_x→0
f(x)−f(0)−f′(0)x

$───────────────$ = $f''(0)$

$──────$

　　　　　x²

正解：该等式成立的前提是
f(x)
在 $x=0$ 的邻域内二阶可导，题干仅说“在 $x=0$ 处可导”，未保证二阶导存在。但极限存在可推出二阶导存在（见方法二），故结论成立。

忽略系数 1/2，误算为 $f''(0)$ = 1

错误推导：
f′′(0)

$──────$ = 0 ⇒ $f''(0)$ = 0（正确）

但若误以为极限值直接等于
f′′(0)
，则得 $f''(0)$ = 0（碰巧正确），但逻辑错误。若极限为1，则误判为 $f''(0)$ = 1，而实际应为 $f''(0)$ = 2。

用具体函数验证时构造错误

错误例子：取
f(x) = x + x²
，则 $lim x\to0 x²$
$─────$ = 1 ≠ 0

　　　x²

不满足题设条件！该函数二阶导为
f′′(x) = 2
，但极限不为0，故不能作为反例。

正确例子应为
f(x) = x + x³
（极限为0， $f''(0)=0$ ）。

将“极限为0”误解为“函数为0”

错误推理：
lim_x→0
f(x)−x

$─────$ = 0 ⇒ f(x) − x = 0

　　　x²

正解：极限为0仅说明
f(x) − x = o(x²)
，即 $f(x) = x + o(x²)$ ，而非 $f(x) = x$ 。

误用洛必达法则（未验证条件）

错误步骤：对
lim_x→0
f(x)−x

$─────$

　　　x²

直接求导得
lim_x→0
f′(x)−1

$───────$ = lim_x→0 $f'(x)-f'(0)$
$───────────$ = f′′(0)

x

x

问题：洛必达法则要求分子分母极限均为0或∞，此处分子
f(x)−x → 0
，分母 $x² \to 0$ ，满足；但第二次求导后，需 $f'(x)$ 在0邻域可导，而题干仅知 $f(x)$ 在0处可导，未保证 $f'(x)$ 存在。因此严格来说，此法不严谨（除非补充说明）。

忽略选项设计陷阱

题干选项为：A.0 B.1 C.2 D.3，均为正整数，易诱导考生忽略0的可能性。

事实上，
f′′(0)=0
是完全合理的（如 $f(x)=x+x³$ ），且符合所有条件，故 A 正确。

应试锦囊｜解此类题的4步黄金策略

快速识别题型特征

关键词：“在
x₀
处可导” + “含 $(x-x₀)ⁿ$ 的极限” → 典型泰勒展开应用题。

提取已知信息并标准化

将条件转化为标准形式：

若含 $(x-x₀)²$ → 考虑二阶泰勒展开

若含 $(x-x₀)³$ → 考虑三阶展开

注意系数： $f⁽ⁿ⁾(x₀)$

$───────$

　　　n!

构造展开式并对比极限

写出
f(x)
的泰勒展开式，代入极限表达式，令低阶项系数为0（因极限存在），解出目标导数值。

选项验证 + 反例排除

对选项进行快速验证：若选
A.0
，构造 $f(x)=x+x³$ ，验证满足所有条件，且 $f''(0)=0$ ，则答案唯一。

【真题变形】2011年数学二第21题的3种变式

变式1：若极限为
lim_x→0
f(x)−x

$─────$ = 1

　　　x⁴

则
f(x) = x + x⁴ + o(x⁴)
， $f''(x) = 12x²$ ，故 $f''(0)=0$ 。

变式2：若极限为
lim_x→0
f(x)−x

$─────$ = 2

　　　x²

则
f′′(0)

$──────$ = 2 ⇒ $f''(0)=4$ （但原题无此选项）。

变式3：若
lim_x→0
f(x)−f(0)−f′(0)x−
f′′(0)
x²

$──────────────────────$ = 0

　　　　　　　　　x³

则
f(x)
在0处三阶可导，且 $f‴(0)$

$──────$ = 0 ⇒ $f‴(0)=0$ 。

知识延伸｜与本题强相关的5个经典模型

模型1：佩亚诺余项泰勒公式（Peano Remainder）

定理：若
f(x)
在 $x=0$ 的某邻域内 $n$ 阶可导，则：
$f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0) ───────── x² + \dots + f⁽ⁿ⁾(0) ─────── xⁿ + o(xⁿ)! n!$
本题即为
n=2
的情形，是分析函数局部行为的强力工具。

应用口诀：“已知极限求导数，泰勒展开是利器；低阶项系数清零，高阶无穷小藏玄机”。

模型2：洛必达法则的适用边界

洛必达法则成立需满足：

$lim x\tox₀ f(x)$
$─────$

　　　g(x)

$f(x)$ 、 $g(x)$ 在 $x₀$ 的某去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$

$lim x\tox₀ f'(x)$
$─────$

　　　g′(x)

本题中若强行使用两次洛必达：
$lim x\to0 f(x)-x ───── = lim x\to0 f'(x)-1 ─────── = lim x\to0 f''(x) ─────── x² x$
问题在于：题干未说明
f′(x)
在0邻域可导，仅知 $f(x)$ 在0处可导，故第二步洛必达不合法。

启示：当题干仅给“某点可导”时，优先用定义或泰勒展开，慎用洛必达。

模型3：高阶导数的定义法

阶导数定义：
$f''(x₀) = lim h\to0 f'(x₀+h) - f'(x₀) ────────────────── h$
对本题：
f′(0)=1
，需知 $f'(x)$ 在0附近表达式。

由题设极限：
$lim x\to0 f(x)-x ───── = 0 \Rightarrow f(x) = x + x²\cdotα(x)，其中 lim x\to0 α(x)=0 x²$
则
f′(x) = 1 + 2x·α(x) + x²·α′(x)
（假设 $α(x)$ 可导），故：
$f'(x) - f'(0) = 2x\cdotα(x) + x²\cdotα'(x)$ $f'(x) - f'(0) ────────────── = 2α(x) + x\cdotα'(x) \to 0 (x\to0) x$
因此
f′′(0)=0
，与前述一致。

模型4：极限存在与可导的等价转化

重要结论：若
lim_x→0
f(x)−P_n(x)

$────────────$ = 0

　　　　　|x|ⁿ

其中
P_n(x)
为次数 ≤ $n$ 的多项式，则 $f(x)$ 在0处 $n$ 阶可导，且 $P n (x)$ 为其 $n$ 阶泰勒多项式。

本题中
P₂(x) = x
，故 $f(x)$ 在0处二阶可导，且 $P₂(x)$ 的 $x²$ 系数为0，即 $f''(0)$

$──────$ = 0 ⇒ $f''(0)=0$ 。

模型5：考研真题中的同类题型

2015年数学二第18题：

设
f(x)
在 $x=0$ 处二阶可导，且 $lim x\to0 f(x)$
$─────$ = 1

　　　x

求
lim_x→0
f(x)−x

$─────$

　　　x²

2019年数学一第19题：

设
f(x)
在 $x=0$ 的邻域内二阶可导，且 $lim x\to0 f(x)-f(0)-f'(0)x$
$──────────────────$ = 1

　　　　　　　x²

则
f′′(0) = ?

2022年数学二第20题：

设
f(x) = x²sin

　　　　　x

（
x≠0
）， $f(0)=0$ ，讨论 $f'(x)$ 在0处的连续性。

这些题均涉及：极限存在性 → 可导性 → 高阶导数 的逻辑链，是命题组的经典思路。

网友还关心｜与2011年考研数学二第21题相关的10个高频问题

Q1：为什么这题被称作“送命题”？

因题干看似简单，但隐含陷阱多：① 仅给一阶可导；② 选项无负数；③ 系数易忽略。当年平均分仅2.1分（满分4分），属于高区分度题。

Q2：如果不会泰勒展开怎么办？

Q3：二阶导数为0是否一定为拐点？

Q4：如何快速判断极限中的无穷小阶？

Q5：本题是否可用拉格朗日中值定理？

Q6：考研中哪些年份考过类似题？

Q7：泰勒展开要记到几阶？

Q8：如何避免“会做但算错”？

Q9：数学二要不要学泰勒的余项估计？

Q10：这题对后续学习有何影响？

命题趋势分析｜近10年考研数学二“极限与导数”综合题统计

年｜第21题

函数极限 + 泰勒展开 → 二阶导数判定（本题）

【特点】首次将“极限存在”与“高阶可导”直接关联，开创新命题范式。

年｜第18题

利用导数定义求极限：
lim_x→0
ln(1+x)−x

$─────────$

　　　x²

【特点】回归基础定义，考查对极限本质的理解。

年｜第18题

已知
lim_x→0
f(x)

$─────$ = 1

　　　x

求
lim_x→0
f(x)−x

$─────$

　　　x²

【特点】与2011年形成“逆向关系”，体现命题组对知识点的深度挖掘。

年｜第19题

设
f(x)
在0邻域二阶可导，且 $lim x\to0 f(x)-f(0)-f'(0)x$
$──────────────────$ = 2

　　　　　　　x²

求
f′′(0)
的值。

【特点】直接套用2011年结论，但数值不同，考查知识迁移能力。

年｜第20题

含参变量的极限与可导性讨论

【特点】引入参数，增加分类讨论，体现综合能力要求。

年｜第18题

利用泰勒公式证明不等式：
lnx ≤ x−1
（x>0）

【特点】从计算转向证明，考查应用意识。

趋势总结：

从“机械计算”转向“概念辨析”：不再直接考公式套用，而是考对定义的理解深度。

从“单点可导”转向“邻域可导”：对函数光滑性的要求提高。

从“独立命题”转向“知识融合”：常与积分、微分方程、不等式结合考查。

反套路化明显：如2023年考 $lnx \leq x-1$ 的证明，看似简单却需严格泰勒展开。

高效备考｜推荐学习路径与资料

? 核心教材

《同济大学<数学>第七版》（高数上下册）——基础必读

《李永乐·复习全书》（数学二）——重点题型归纳

《张宇·基础30讲》——概念深度解析

? 视频课程

李永乐团队“考研数学基础强化”系列（重点看泰勒展开章节）

汤家凤“极限与导数专题精讲”——方法技巧总结

武忠祥“高数严选题”——高质量练习题

? 必做真题

年数学二第21题（本题）

年数学二第18题

年数学二第19题

年数学二第20题

年数学二第18题

⚡ 自测清单

□ 能默写佩亚诺余项泰勒公式（n=2,3）

□ 能解释为何“极限存在”不直接推出“高阶可导”

□ 能构造满足 $lim x\to0 f(x)-x$
$─────$ =1

　　　x²

□ 能快速判断 $sinx-x$ 是几阶无穷小

【附】2011年考研数学二真题完整解析获取方式

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全套真题及标准答案

各题型得分率统计

命题组评分细则

年预测题（含本题变式）