导数与微分：几何意义与应用

导数考查分为显函数、隐函数、参数方程、抽象函数四类。重点掌握：①几何意义（切线斜率、法线方程）；②物理意义（变化率、速度、加速度）；③微分中值定理应用（罗尔、拉格朗日、柯西、泰勒）。

2022年真题示例：设y = (1 + x)^1/x (x > 0)，求y'。先取对数：ln y = (1/x) ln(1+x)，两边求导：y'/y = [x/(1+x)
- ln(1+x)] / x²，故y' = (1+x)^1/x · [x
- (1+x)ln(1+x)] / [x²(1+x)]。此类题需注意定义域与化简技巧。

中值定理经典题型：证明存在ξ∈(a,b)，使f'(ξ) = [f(b)-f(a)]/(b-a)（拉格朗日）；或f'(ξ) = k f(ξ)（构造辅助函数法）。2021年解答题第18题即属此类。

积分学：计算与应用双轨并重

积分是数一真题计算量最大的模块，包含不定积分、定积分、广义积分、二重积分、三重积分、曲线曲面积分。核心方法：换元法、分部积分、对称性、奇偶性、轮换对称性。

二重积分典型题：计算∬_D (x² + y²) dσ，其中D由x² + y² ≤ 2y确定。化为极坐标：x = r cosθ，y = r sinθ，D：0≤r≤2sinθ，0≤θ≤π。积分变为∫₀^π dθ ∫₀^2sinθ r³ dr = ∫₀^π 4sin⁴θ dθ = 4 × (3π/8) = 3π/2。注意积分区域转换与对称性简化。

曲线积分重点：第一类（对弧长）与第二类（对坐标）积分区别。2023年解答题第20题考查第二类曲线积分，路径为分段光滑闭曲线，需判断是否与奇点相关——若P,Q在单连通域内具连续偏导，则积分与路径无关；否则用格林公式加挖洞。

无穷级数：收敛性判定与展开

常数项级数考查正项级数（比较、比值、根值法）、交错级数（莱布尼茨）、绝对收敛与条件收敛；函数项级数考查幂级数收敛半径、和函数、傅里叶级数展开。

幂级数求和函数：设S(x) = ∑_n=1^∞ n x^n-1，则S(x) = d/dx (∑xⁿ) = d/dx [x/(1-x)] = 1/(1-x)²（|x|<1）。2022年解答题第22题即由此展开，求∑n²/2ⁿ。

傅里叶级数高频点：奇延拓/偶延拓、收敛定理（狄利克雷条件）。例如f(x)=x在[-π,π]的正弦级数（奇延拓）为2∑(-1)ⁿ⁺¹/n · sin(nx)，在x=π/2处收敛于π/2。

常见分布：记忆与应用

中心极限定理：独立同分布下，样本均值近似N(μ,σ²/n)。2023年解答题第24题考查此定理应用：设X₁,...,X₁₀₀~U(0,6)，求P{∑X_{i210}。由定理，∑Xi≈N(300, 300)，标准化后查表得结果。}

参数估计：点估计与区间估计

矩估计：用样本矩替换总体矩。如总体X期望为μ=θ，则令样本一阶矩X̄=θ̂，得θ̂=X̄。

最大似然估计：构造似然函数L(θ)=∏f(x_i;θ)，取对数后求导找极值点。例：X~U(0,θ)，L(θ)=1/θⁿ（0≤x_i≤θ），显然θ越小L越大，故θ̂=max{x_i}。

置信区间：双侧区间[θ̂_L,θ̂_U]满足P{θ∈[θ̂_L,θ̂_U]}=1-α。正态总体均值μ的置信区间（σ已知）：X̄ ± z_α/2 · σ/√n。

2022年真题：设X₁,...,X₉~N(μ,4)，样本均值X̄=5.32，求μ的95%置信区间。z_0.025=1.96，区间为5.32 ± 1.96×2/3 = (4.00, 6.64)。

假设检验：统计决策的逻辑

步骤：①提出H₀,H₁；②选检验统计量；③确定拒绝域；④计算样本值；⑤决策。

Z检验（σ已知）：H₀:μ=μ₀，统计量Z=(X̄-μ₀)/(σ/√n)~N(0,1)。

T检验（σ未知）：统计量T=(X̄-μ₀)/(S/√n)~t(n-1)。

2023年解答题第25题：某厂零件长度X~N(μ,0.06²)，随机抽9件，均值=12.06，问是否可认为μ=12？α=0.05。Z=(12.06-12)/(0.06/3)=3 > z_0.025=1.96，拒绝H₀，认为μ≠12。

两类错误：H₀真却拒之（α，弃真）；H₀假却接受（β，取伪）。样本量增大可同时减小α与β。