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离散型随机变量（如二项分布、泊松分布）：用概率质量函数（PMF）描述，P(X=k) = p_k；
连续型随机变量（如正态分布、均匀分布）：用概率密度函数（PDF）描述，P(a≤X≤b) = ∫_a^bf(x)dx。

分布函数F(x) = P(X≤x)是理解所有分布的核心，具有单调不减、右连续、lim_x→−∞F(x)=0、lim_x→+∞F(x)=1四条基本性质。

高频分布速查：

• 两点分布：P(X=1)=p, P(X=0)=1−p
• 二项分布：B(n,p)：P(X=k)=C_n^kp^k(1−p)^n−k
• 泊松分布：P(X=k)=λ^ke^−λ/k!
• 均匀分布：U(a,b)：f(x)=1/(b−a), a≤x≤b
• 正态分布：N(μ,σ²)：f(x)=1/(σ√2π)·e^{−(x−μ)²/(2σ²)}

期望E(X)反映随机变量的平均取值水平；方差D(X)=E[(X−E(X))²]反映其离散程度。

重要性质：

• 线性性：E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)（不要求独立）
• 方差加法：D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)
• 独立时：Cov(X,Y)=0 ⇒ D(X+Y)=D(X)+D(Y)
• 变换公式：E(X²) = D(X) + [E(X)]²

常见分布的期望与方差：

分布	E(X)	D(X)
两点分布	p	p(1−p)
二项分布B(n,p)	np	np(1−p)
泊松分布P(λ)	λ	λ
U(a,b)	(a+b)/2	(b−a)²/12
N(μ,σ²)	μ	σ²

贝叶斯公式：P(Aᵢ|B) = [P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)] / Σ_jP(Aⱼ)P(B|Aⱼ)

核心思想：用先验概率P(Aᵢ)与似然度P(B|Aᵢ)更新为后验概率P(Aᵢ|B)，是医学诊断、机器学习、风险评估的理论基础。

经典应用案例：疾病检测。设某病发病率P(D)=0.01，检测灵敏度P(+|D)=0.95，特异度P(−|¬D)=0.95，则：
P(D|+) = [0.01×0.95] / [0.01×0.95 + 0.99×0.05] ≈ 0.161
即阳性者中仅约16%真患病——说明低发病率下，假阳性占主导。

马尔可夫链：具有无后效性——未来状态只依赖当前状态，与过去无关。状态转移由一步转移概率矩阵P描述，P_ij=P(X_n+1=j | X_n=i)。

平稳分布π：满足πP=π的向量π=(π₁,π₂,…,π_n)，表示长期运行后各状态的概率分布。

存在条件：有限状态、不可约、正常返 ⇒ 存在唯一平稳分布。

求解方法：解方程组：πP=π 且 Σπᵢ=1。

应用实例：天气模型（晴/雨）、排队系统（服务台状态）、搜索引擎PageRank（马尔可夫链随机游走）。