1. 选择题1：极限存在性判断
本题考察学生对极限存在性的条件掌握情况。题目给出一个函数的极限表达式，要求判断其是否存在。解答时，需运用极限的定义，结合函数的连续性进行判断。答案为存在，因为函数在该点连续。
解析拓展：在处理此类问题时，考生需特别注意分段函数在分界点处的左右极限是否相等。若左右极限存在但不相等，则极限不存在；若左右极限相等且等于函数值，则函数在该点连续且极限存在。此题通过具体的函数形式，考察了考生对“极限存在”与“连续”这两个概念之间逻辑关系的辨析能力。
2. 填空题2：极限值计算
题目给出一个函数表达式，要求计算其在某点的极限值。解答时，需利用洛必达法则或直接代入法进行计算。答案为1。
解题技巧：对于0/0型或未定式极限，洛必达法则是首选工具，但前提是验证其满足使用条件（分子分母趋于0或无穷，且导数比值的极限存在）。若直接代入即可得出确定值，则无需使用洛必达法则，以避免计算复杂化。此外，等价无穷小替换也是加速计算的有效手段，但需注意替换的准确性与适用范围。
3. 解答题3：极限与连续性综合
本题考察学生对极限、连续性的综合应用。题目给出一个函数，要求判断其在某点的极限是否存在，并证明其连续性。解答时，需先计算极限，再验证连续性。
详细步骤：首先，分别计算该点处的左极限和右极限。若左极限等于右极限，则极限存在。其次，比较极限值与函数在该点的定义值。若两者相等，则函数在该点连续。此题旨在考察考生对函数局部性质的全面分析能力，是考研数学中的经典题型。
1. 选择题4：偏导数存在性判断
题目给出一个多元函数，要求判断其偏导数是否存在。解答时，需利用偏导数的定义，结合函数的可微性进行判断。答案为存在。
考点分析：偏导数的存在性仅依赖于函数沿坐标轴方向的变化率。即使函数在某点不可微，其偏导数仍可能存在。考生需熟练掌握偏导数的定义式，即固定其他变量，对单一变量求导。此外，需注意偏导数连续是可微的充分条件，而非必要条件。
2. 填空题5：二重极限计算
题目给出一个二重极限表达式，要求计算其极限值。解答时，需运用极限的夹逼定理或直接计算。答案为0。
解题策略：计算二重极限时，若直接代入导致未定式，可尝试极坐标变换、夹逼定理或路径法。若沿不同路径趋近于原点得到不同的极限值，则二重极限不存在。若利用夹逼定理，需构造合适的上下界函数，证明其极限均为同一常数。
3. 解答题6：多元函数极值
本题考察学生对多元函数极值的求解能力。题目给出一个函数，要求求其在某区域内的极值。解答时，需先求偏导数，再求临界点，最后判断极值类型。
标准流程：第一步，求一阶偏导数并令其为零，解方程组得到驻点。第二步，求二阶偏导数，构造Hessian矩阵。第三步，利用Hessian矩阵的正定性判断极值类型：若正定则为极小值，负定则为极大值，不定则不是极值。此外，还需比较边界上的函数值，以确定全局最值。
综合应用题：函数连续性与极限应用
本题要求学生综合运用极限、连续性、导数等知识，解决实际问题。题目给出一个函数，在某点连续，要求证明其在该点的极限存在，并求其导数。
深度解析：此类题目通常结合物理或几何背景。考生需首先根据连续性定义建立方程，求出未知参数。随后，利用导数的定义或求导法则计算导数值。解题过程中，需特别注意函数的定义域及分段点的处理，确保每一步推导的严谨性。