2015年数学一考研真题解析｜2015数学一真题深度解析｜考研数学一备考指南

矩阵与行列式

填空题第12题：设A为3阶矩阵，|A| = -2，A为A的伴随矩阵，则 |(2A)^-1| = ?

解析：由 A = |A|A^-1 = -2A^-1，得 (2A)^-1 = [2·(-2A^-1)]^-1 = (-4A^-1)^-1 = -A/4

故 |(-A/4)| = (-1)³·|A|/4³ = -(-2)/64 = 1/32

核心公式：|kA| = kⁿ|A|；|A| = |A|^n-1；(A^-1)^-1 = A

线性方程组

解答题第21题：讨论a取何值时，方程组

       x₁ + x₂ + x₃ = 1

       x₁ + ax₂ + x₃ = a

       x₁ + x₂ + ax₃ = a²

有唯一解、无解或无穷多解，并求解。

解析：系数矩阵A的行列式 |A| = (a-1)²(a+2)

• 当 a ≠ 1 且 a ≠ -2 时，|A| ≠ 0，有唯一解
• 当 a = 1 时，增广矩阵秩为1，系数矩阵秩为1，有无穷多解：x₁ = 1
  - x₂
  - x₃
• 当 a = -2 时，增广矩阵秩为2，系数矩阵秩为1，无解

典型错误：a=1时未验证常数项是否成比例，直接判定无解。

特征值与二次型

解答题第22题：设二次型 f(x₁,x₂,x₃) = x₁² + x₂² + x₃² + 2ax₁x₂ + 2x₁x₃ + 2x₂x₃

求正交变换Q，使f化为标准形；（2）求正惯性指数。

解析：二次型矩阵 A = [[1,a,1],[a,1,1],[1,1,1]]

特征方程 |A
- λI| = -(λ-1-a)(λ-1+a)(λ-3) = 0

当 a = 0 时，特征值为1,1,3 → 正惯性指数为3；当 a ≠ 0 时，特征值为1+a,1-a,3，需分情况讨论符号。

关键步骤：正交矩阵Q由单位化后的特征向量构成，注意正交化过程。

随机变量与分布

解答题第23题：设随机变量X的概率密度为 f(x) = { k(1-x²), -1

求常数k；（2）求Y = X²的概率密度。

解析：

∫_-1¹ k(1-x²)dx = k·[x
- x³/3]_-1¹ = k·4/3 = 1 ⇒ k = 3/4

Y的分布函数 F_Y(y) = P(Y ≤ y) = P(-√y ≤ X ≤ √y) = ∫_-√y^√y (3/4)(1-x²)dx = (3/2)[√y
- y^3/2/3]，0

求导得 f_Y(y) = (3/4)(1-y)/√y，0

易错点：Y=X²为偶函数变换，需分区间讨论，不可直接套用公式。

数字特征与中心极限定理

解答题第24题：设X₁,...,X_n独立同分布，密度函数 f(x) = { e^-(x-θ), x>θ; 0, 其他 }

求θ的矩估计量；（2）求θ的最大似然估计量。

解析：

E(X) = θ + 1，故矩估计量 θ̂ = X̄
- 1

似然函数 L(θ) = e^-∑(x_i-θ) = e<sup>nθ
- ∑x_i</sup>，约束条件 θ < min{x_i}

因L(θ)随θ增大而增大，故θ̂_MLE = min{X_i}

对比分析：矩估计量有偏但方差小；MLE有偏但渐近无偏，两者在小样本下性能差异显著。

假设检验与置信区间

选择题第14题：设总体X~N(μ,σ²)，σ²未知，检验H₀: μ = μ₀ vs H₁: μ ≠ μ₀，显著性水平α=0.05，样本容量n=16，得样本均值x̄=10.2，样本标准差s=0.8，则拒绝域为？

解析：采用t检验，自由度15，临界值t_0.025(15)=2.131

拒绝域：|t| = |x̄
- μ₀|/(s/√n) > 2.131 ⇒ |x̄
- μ₀| > 2.131×0.8/4 = 0.426

即拒绝域为 x̄ < μ₀
- 0.426 或 x̄ > μ₀ + 0.426

命题趋势：假设检验连续3年考查（2015-2017），2018年后转向单侧检验，但本题为经典双侧检验模板。