题目背景与核心定位
年考研数学三第18题是一道典型的综合应用题，题目本身简洁但内涵丰富，集中考查考生对多元函数极值理论、偏导数运算、约束条件处理及几何直观的综合运用能力。该题并非孤立知识点的简单堆砌，而是体现了考研数学命题“重基础、重应用、重思维”的核心导向。
题干明确指出：设函数 $ f(x, y) = frac{1}{sqrt{x^2 + y^2}} $，在区域 $ D = {(x, y) in mathbb{R}^2 mid x^2 + y^2 leq 1} $ 上求 $ f(x, y) $ 的极值。
【题干关键信息】
• 函数形式：$ f(x, y) = frac{1}{sqrt{x^2 + y^2}} $，即点 $(x, y)$ 到原点距离的倒数；
• 定义域：单位闭圆盘 $ D $，含边界 $ x^2 + y^2 = 1 $；
• 隐含限制：$ (x, y) neq (0, 0) $，因函数在原点无定义。
本题的考查重点在于：考生是否具备系统性分析极值问题的完整逻辑链条，即——先分析定义域与连续性，再求偏导找临界点，最后结合边界行为综合判断极值的存在性与取值位置。尤其在边界分析中，需结合函数单调性与几何意义，避免机械套用公式而忽视函数本身的特殊性。
值得注意的是，该题在2018年试卷中属于中等偏上难度，其区分度主要体现在对“无临界点但有极值”的反直觉结论的理解深度上。许多考生误以为极值必出现在驻点，从而忽略边界分析，导致失分。本页面将逐层拆解此题的思维路径，帮助考生构建严谨的极值判定体系。
数三18题详解｜分步推演
函数性质与定义域再审视
首先明确函数 $ f(x, y) = frac{1}{sqrt{x^2 + y^2}} $ 的本质：它表示点 $(x, y)$ 到原点距离的倒数，即 $ f(x, y) = frac{1}{r} $（其中 $ r = sqrt{x^2 + y^2} $）。该函数在原点处无定义（分母为零），在其余所有点均连续且可微。
在区域 $ D $ 上，函数的定义域实际为 $ D^ = D setminus {(0, 0)} = {(x, y) mid 0 < x^2 + y^2 leq 1} $。这是一个开集与闭集的并集，其边界包含两部分：内边界 $ x^2 + y^2 to 0^+ $（原点附近）和外边界 $ x^2 + y^2 = 1 $（单位圆周）。
内部驻点分析：偏导数计算
计算一阶偏导数：
令偏导数为零，解方程组：
然而，点 $ (0, 0) $ 不在函数定义域内！因此，函数在区域 $ D^ $ 内无驻点，即内部不存在极值点。这一结论至关重要，直接否定了“极值必在驻点”的直觉误区。
边界分析：拉格朗日乘数法应用
由于内部无极值点，极值只能出现在边界 $ partial D: x^2 + y^2 = 1 $ 上。此时采用拉格朗日乘数法构造辅助函数：
求偏导并令其为零：
由第三式得约束条件 $ x^2 + y^2 = 1 $，代入前两式：
联立解得两种情况：
- 若 $ 1 + 2lambda neq 0 $，则 $ x = 0 $ 且 $ y = 0 $，与约束 $ x^2 + y^2 = 1 $ 矛盾；
- 故必有 $ 1 + 2lambda = 0 Rightarrow lambda = -frac{1}{2} $，此时 $ x, y $ 可取任意满足 $ x^2 + y^2 = 1 $ 的值。
即：边界上所有点均满足拉格朗日条件！这并非异常，而是因目标函数在约束下具有特殊对称性——函数值仅依赖于 $ r = sqrt{x^2 + y^2} $，而约束恰好固定了 $ r = 1 $，因此边界上函数为常数。
代入函数表达式：
因此，在边界 $ x^2 + y^2 = 1 $ 上，函数恒为1，所有边界点均为极值点（既是极大值点也是极小值点）。
极值结论：全局行为分析
综合内部与边界分析：
- 在 $ D^ $ 内部（$ 0 < x^2 + y^2 < 1 $），函数 $ f(x, y) = frac{1}{r} > 1 $（因 $ r < 1 $）；
- 在边界上，$ f(x, y) = 1 $；
- 当 $ (x, y) to (0, 0) $ 时，$ f(x, y) to +infty $（无界增长）。
因此，函数在区域 $ D $ 上的极值为：
- 无最大值：函数在原点附近无界，可无限增大；
- 最小值为1：在边界 $ x^2 + y^2 = 1 $ 上取得，且仅在边界上取得。
【关键辨析】 题目要求“在区域 $ D $ 上求极值”，但 $ D $ 包含原点，而函数在原点无定义。严格来说，函数在 $ D $ 上不连续，极值讨论应限定在定义域 $ D^ $ 内。根据极值定义（需在定义域内比较），最小值1存在，但最大值不存在（因函数无上界）。
解题方法精析｜拉格朗日乘数法深度拓展
拉格朗日乘数法是求解约束优化问题的核心工具，其数学本质是：在约束 $ g(x, y) = 0 $ 下，目标函数 $ f(x, y) $ 的极值点必满足梯度平行条件 $ nabla f = lambda nabla g $。该条件的几何意义是——在极值点处，目标函数的等高线与约束曲线相切，即两者的法向量共线。
在2018数三18题中，约束为 $ g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 $，其梯度 $ nabla g = (2x, 2y) $ 恰好与位置向量同向，而 $ nabla f $ 与位置向量反向（因函数随距离增大而减小），故两者自然平行，导致所有边界点均满足条件。
该方法的适用前提是：$ f $ 与 $ g $ 可微，且 $ nabla g neq mathbf{0} $（正则性条件）。若约束边界存在尖点或不可微点，需额外单独分析。
拉格朗日乘数法适用于以下场景：
- 目标函数与约束均为光滑函数（$ C^1 $ 类）；
- 约束定义的可行域为光滑流形（无尖点、自交等）；
- 需寻找内部极值点，而非全局最小/最大值（后者需结合边界分析）。
对于多约束问题，可推广为 $ nabla f = sum lambda_i nabla g_i $；对于不等式约束（如 $ x^2 + y^2 leq 1 $），需结合KKT条件分析。
考生常见误区包括：
- 误判极值存在性：认为拉格朗日方程有解即存在极值，忽略函数有界性；
- 忽略定义域限制：未检查临界点是否在定义域内（如本题原点）；
- 遗漏边界分析：仅关注驻点，忽视分段讨论边界；
- 计算错误：偏导数符号处理不当（如漏掉负号）；
- 几何理解缺失：无法将代数结果转化为函数行为直观理解。
建议通过绘制等高线图辅助理解：本题中，$ f(x, y) = c $ 对应同心圆 $ x^2 + y^2 = frac{1}{c^2} $，约束 $ x^2 + y^2 = 1 $ 恰好与 $ c=1 $ 的等高线重合，故边界上函数值恒定。
延伸拓展｜2018数三18题周边热点
近五年真题对比（2016–2020）
数三17题
求 $ f(x,y)=x^2+xy+y^2 $ 在区域 $ x^2+y^2leq1 $ 上的最值。本题有内部驻点 $(0,0)$，需比较内部与边界极值，属标准题型。
数三18题
约束优化问题：$ max xy $ s.t. $ x^2+2y^2=1 $。使用拉格朗日乘数法，边界为椭圆，需注意对称性。
数三18题
本题：$ f(x,y)=1/r $ 在单位圆盘上，无内部驻点，边界恒值，结论反直觉。
数三16题
求 $ f(x,y)=x^3+y^3-3xy $ 的极值。含内部驻点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$，需二阶导数判别。
数三18题
约束问题：$ min x^2+y^2 $ s.t. $ x+y=1 $。几何意义为点到直线距离，解法多样（代入法更简便）。
考生高频疑问解答
极值定义要求点在定义域内且存在邻域使函数值不大于/不小于该点值。虽然边界上函数为1，但对任意点 $(x,y) in D^$，总存在更接近原点的点 $(x',y')$ 使得 $ f(x',y') > f(x,y) $。例如，取 $(x,y)=(0.5,0)$，$ f=2 $；再取 $(x',y')=(0.1,0)$，$ f=10 > 2 $。因此不存在最大值点，函数无上界。
极坐标变换 $ x=rcostheta, y=rsintheta $ 后，$ f(r,theta)=frac{1}{r} $，约束为 $ 0 < r leq 1 $。因函数与 $ theta $ 无关，只需分析 $ r $：当 $ r to 0^+ $ 时 $ f to +infty $；当 $ r=1 $ 时 $ f=1 $。故最小值为1（在 $ r=1 $ 取得），无最大值。此法避免偏导计算，更直观高效。
原点 $ (0,0) $ 不在函数定义域内，故不能称为极值点。极值点必须属于定义域。本题定义域为 $ D^ = {0 < x^2+y^2 leq 1} $，原点被排除，因此仅边界点为极小值点。
命题趋势与备考策略
- 题型稳定性：近五年约束优化问题每年必考，占比约3-5分；
- 难度梯度：基础题（如2020）→ 中等题（如2017）→ 高区分度题（如2018）；
- 能力要求：从“计算拉格朗日”转向“理解几何意义+反例辨析”；
- 备考建议：掌握三种解法（拉格朗日、代入法、几何法），熟记常见约束（圆、椭圆、直线），强化定义域意识。