2018考研数三18题详解-2018数三18题详解

在2018年考研数学三考试中，第18题是一道综合应用题，考查考生对多元函数极值、偏导数、梯度方向以及约束条件下的极值问题的理解与应用能力。该题不仅要求考生掌握多元函数的极值判定方法，还需结合约束条件进行分析，体现了数学分析在实际问题中的应用。题目涉及多个数学概念，如偏导数、梯度、约束条件、极值点以及拉格朗日乘数法等，具有较强的综合性与应用性。题目在考查学生对数学理论掌握的基础上，也强调了对实际问题的转化与建模能力。
也是因为这些，该题不仅是对考生数学能力的全面检验，也对教学中如何加强数学理论与实际问题结合的教育实践具有重要启示。
2018考研数三18题详解 题干回顾 2018年考研数学三第18题为： > 设函数 $ f(x, y) = frac{1}{sqrt{x^2 + y^2}} $，在区域 $ D = {(x, y) in mathbb{R}^2 mid x^2 + y^2 leq 1} $ 上求 $ f(x, y) $ 的极值。 题目的核心内容 本题要求在给定的区域 $ D $ 上求函数 $ f(x, y) = frac{1}{sqrt{x^2 + y^2}} $ 的极值。我们需要明确函数的定义域和性质，然后判断其在该区域内是否存在极值点，并进一步确定极值的类型。

一、函数的定义域与性质分析 函数 $ f(x, y) = frac{1}{sqrt{x^2 + y^2}} $ 的定义域为 $ x^2 + y^2 > 0 $，即 $ (x, y) neq (0, 0) $。题目中给出的区域 $ D = {(x, y) in mathbb{R}^2 mid x^2 + y^2 leq 1} $，即单位圆内或其边界上。
也是因为这些，函数在区域 $ D $ 上的定义域为 $ x^2 + y^2 leq 1 $，且 $ x^2 + y^2 > 0 $，即 $ D setminus {(0, 0)} $。 函数 $ f(x, y) $ 在区域 $ D $ 上的值随着 $ x^2 + y^2 $ 的增大而减小，因此在 $ D $ 上，函数 $ f(x, y) $ 是一个递减函数。在区域内，函数的极值点可能出现在边界或内部。

二、极值点的判定 为了求函数在区域 $ D $ 上的极值，我们可以运用极值判定定理，即：
1.极值点的存在条件：函数在区域内有极值点，当且仅当其在该点处的偏导数为零，且该点为临界点。
2.极值的类型：通过二阶导数或使用拉格朗日乘数法判定极值的类型。
1.求偏导数 计算函数 $ f(x, y) $ 的偏导数： $$ frac{partial f}{partial x} = frac{-x}{(x^2 + y^2)^{3/2}}, quad frac{partial f}{partial y} = frac{-y}{(x^2 + y^2)^{3/2}} $$ 在区域 $ D $ 上，偏导数在 $ (0, 0) $ 处不定义，因此函数在 $ (0, 0) $ 处不连续，因此不能在该点求极值。
也是因为这些，极值点只能在 $ D $ 的边界上或内部点上。
2.拉格朗日乘数法 由于函数在区域 $ D $ 上的极值点可能出现在边界上，因此我们考虑使用拉格朗日乘数法寻找极值点。 设 $ f(x, y) = frac{1}{sqrt{x^2 + y^2}} $，在区域 $ D $ 上，考虑约束条件 $ x^2 + y^2 = 1 $，即单位圆。 设拉格朗日函数为： $$ mathcal{L}(x, y, lambda) = frac{1}{sqrt{x^2 + y^2}} + lambda (x^2 + y^2
- 1) $$ 对 $ x, y, lambda $ 求偏导并令其为零： $$ frac{partial mathcal{L}}{partial x} = frac{-x}{(x^2 + y^2)^{3/2}} + 2lambda x = 0 \ frac{partial mathcal{L}}{partial y} = frac{-y}{(x^2 + y^2)^{3/2}} + 2lambda y = 0 \ frac{partial mathcal{L}}{partial lambda} = x^2 + y^2
- 1 = 0 $$ 由第一式和第二式可得： $$ frac{-x}{(x^2 + y^2)^{3/2}} + 2lambda x = 0 Rightarrow frac{-1}{(x^2 + y^2)^{3/2}} + 2lambda = 0 \ frac{-y}{(x^2 + y^2)^{3/2}} + 2lambda y = 0 Rightarrow frac{-1}{(x^2 + y^2)^{3/2}} + 2lambda = 0 $$ 由此可得： $$ 2lambda = frac{1}{(x^2 + y^2)^{3/2}} Rightarrow lambda = frac{1}{2(x^2 + y^2)^{3/2}} $$ 将 $ x^2 + y^2 = 1 $ 代入，得： $$ lambda = frac{1}{2} $$ 也是因为这些，拉格朗日乘数法给出的极值点为： $$ x^2 + y^2 = 1 Rightarrow (x, y) in partial D $$ 即在单位圆的边界上，函数取得极值。

三、极值的类型判断 由于函数 $ f(x, y) = frac{1}{sqrt{x^2 + y^2}} $ 在单位圆 $ D $ 上是递减函数，因此在边界上，函数值随着 $ x^2 + y^2 $ 的增大而减小。 在单位圆上，函数的最小值出现在 $ (0, 1) $、$ (0, -1) $、$ (1, 0) $、$ (-1, 0) $ 处，此时 $ x^2 + y^2 = 1 $，因此函数值为： $$ f(0, 1) = f(0, -1) = f(1, 0) = f(-1, 0) = frac{1}{1} = 1 $$ 而函数在 $ (0, 0) $ 处不定义，因此在区域内，函数的最大值为 1，最小值在边界上趋近于 0，但不包括 0。 也是因为这些，函数在区域 $ D $ 上的极值为：
- 最大值：1，出现在 $ (0, 1) $、$ (0, -1) $、$ (1, 0) $、$ (-1, 0) $ 处；
- 最小值：趋近于 0，但不包含 0。

四、极值点的进一步分析 尽管在单位圆上函数在边界上取得极值，但需要注意的是，函数在区域内是否还有其他极值点。
例如，是否存在内部点使得 $ f(x, y) $ 取得极值？ 由于在区域 $ D $ 内部，函数 $ f(x, y) $ 的偏导数在 $ (0, 0) $ 处不连续，因此函数在 $ D $ 内部没有极值点。
也是因为这些，极值点只能出现在边界上。

五、结论 ，函数 $ f(x, y) = frac{1}{sqrt{x^2 + y^2}} $ 在区域 $ D = {(x, y) in mathbb{R}^2 mid x^2 + y^2 leq 1} $ 上的极值如下：
- 最大值：1，出现在 $ (0, 1) $、$ (0, -1) $、$ (1, 0) $、$ (-1, 0) $ 处；
- 最小值：趋近于 0，但不包括 0。 该题通过拉格朗日乘数法和边界分析，展示了如何在约束条件下求解函数的极值问题，体现了多元函数极值理论在实际问题中的应用。
小节点归结起来说
- 拉格朗日乘数法：用于求解在约束条件下的极值问题；
- 极值点的判定：通过偏导数和约束条件判断；
- 边界分析：在单位圆上分析函数的极值；
- 极值的类型：最大值和最小值的判断。
小节点列表
- 拉格朗日乘数法：用于求解在约束条件下的极值问题；
- 极值点的判定：通过偏导数和约束条件判断；
- 边界分析：在单位圆上分析函数的极值；
- 极值的类型：最大值和最小值的判断。
小节点说明
- 拉格朗日乘数法：在本题中用于求解约束条件下的极值问题；
- 极值点的判定：通过偏导数和约束条件判断极值点是否存在；
- 边界分析：在单位圆上分析函数的极值；
- 极值的类型：最大值和最小值的判断。
小节点应用
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- 极值点的判定：通过偏导数和约束条件判断极值点是否存在；
- 边界分析：在单位圆上分析函数的极值；
- 极值的类型：最大值和最小值的判断。
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