考研高数题100道｜权威解析·精讲精练·高效备考

⚡函数定义域的严谨求解

求函数 $ f(x) = frac{1}{sqrt{x
- 2}} $ 的定义域。

解法解析：该函数包含双重限制条件：分母不能为零，且根号内表达式必须严格大于零（因分母不能为零，故根号内不能等于零）。具体推导如下：

• 根号内要求：$ x
  - 2 > 0 $ → $ x > 2 $
• 分母非零自动满足（因根号值恒正）

答案：定义域为 $ (2, +infty) $

延伸思考：若题目改为 $ f(x) = frac{1}{sqrt{4
- x^2}} $，则需解 $ 4
- x^2 > 0 $，即 $ x^2 < 4 $，得定义域 $ (-2, 2) $。此类题型常出现在选择题第1题，属送分题但易因粗心失分。

⚙️极限计算的三大核心方法

计算极限 $ lim_{x to 0} frac{sin x}{x} $。

解法解析：这是考研数学中最重要的标准极限之一，其值为1。该结论可通过洛必达法则、泰勒展开或几何法严格证明。

• 洛必达法则： $ lim_{x to 0} frac{cos x}{1} = 1 $
• 泰勒展开： $ sin x = x
  - frac{x^3}{6} + o(x^3) $，故 $ frac{sin x}{x} = 1
  - frac{x^2}{6} + o(x^2) to 1 $

应用提示：当遇到 $ lim_{x to 0} frac{sin(kx)}{x} $ 时，结果为 $ k $；当 $ x to infty $ 时，该极限不存在（振荡无界）。注意区分自变量趋近方向！

〖夹逼准则〗极限存在的充分条件

计算 $ lim_{x to 0^+} frac{sin x}{x^2} $。

解法解析：当 $ x to 0^+ $ 时，$ sin x > 0 $ 且 $ x^2 > 0 $，利用不等式 $ frac{2}{pi}x < sin x < x $（$ 0 < x < frac{pi}{2} $），得：

$$ frac{2}{pi x} < frac{sin x}{x^2} < frac{1}{x} $$

由于 $ lim_{x to 0^+} frac{1}{x} = +infty $，由夹逼准则可知原极限为 $ +infty $。

常见误区：误用洛必达法则（因非 $ frac{0}{0} $ 或 $ frac{infty}{infty} $ 型），或混淆左右极限（$ x to 0^
- $ 时极限为 $ -infty $）。

不定积分基础

计算 $ int (x^2 + 3x) , dx $

解法：利用线性性质拆分：

$$ int x^2 , dx + 3int x , dx = frac{1}{3}x^3 + frac{3}{2}x^2 + C $$

关键要点：

• 幂函数积分公式：$ int x^n , dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n neq -1 $）
• 常数因子可提出积分号
• 必须添加积分常数 $ C $

定积分与牛顿-莱布尼茨公式

计算 $ int_{0}^{1} x^2 , dx $

解法：先求原函数 $ frac{1}{3}x^3 $，代入上下限：

$$ left. frac{1}{3}x^3 right|_0^1 = frac{1}{3}(1)^3
- frac{1}{3}(0)^3 = frac{1}{3} $$

几何意义：曲线 $ y=x^2 $ 与 $ x=0 $、$ x=1 $、$ y=0 $ 围成区域的面积

分部积分法实战

计算 $ int x e^x , dx $

解法：设 $ u = x $，$ dv = e^x dx $，则 $ du = dx $，$ v = e^x $

$$ int x e^x , dx = x e^x
- int e^x , dx = x e^x
- e^x + C = e^x(x
- 1) + C $$

口诀：“反对幂指 trig”，即优先选 $ u $ 的顺序：反三角→对数→幂函数→指数→三角函数

偏导数的计算

求 $ f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2 $ 的偏导数

解法：

• 对 $ x $ 求偏导（视 $ y $ 为常数）：$ f_x = 2x + 3y $
• 对 $ y $ 求偏导（视 $ x $ 为常数）：$ f_y = 3x + 2y $

几何意义： $ f_x $ 表示曲面沿 $ x $ 方向的斜率，$ f_y $ 表示沿 $ y $ 方向的斜率

极值点的完整判定

求 $ f(x, y) = x^2 + y^2
- 4x
- 4y $ 的极值点

解法：

1. 求驻点：解方程组 $ f_x = 2x
   - 4 = 0 $，$ f_y = 2y
   - 4 = 0 $
2. 得驻点 $ (2, 2) $
3. 计算二阶偏导：$ f_{xx}=2 $，$ f_{yy}=2 $，$ f_{xy}=0 $
4. 判别式 $ D = f_{xx}f_{yy}
   - (f_{xy})^2 = 4 > 0 $，且 $ f_{xx}>0 $
5. 故为极小值点，极小值为 $ f(2,2) = -8 $

有界闭区域上的最值

求 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $ 在 $ x^2 + y^2 leq 1 $ 上的最值

解法：

• 内部极值：驻点 $ (0,0) $，$ f=0 $（极小值）
• 边界分析：令 $ x = costheta $，$ y = sintheta $，则 $ f=1 $
• 结论：最小值0（原点），最大值1（单位圆周）

物理意义：表示单位圆盘内点到原点距离的平方，直观合理

概率密度函数验证

判断 $ f(x) = frac{1}{2} $（$ x in [0, 2] $）是否为概率密度函数

验证条件：

1. 非负性： $ f(x) = frac{1}{2} geq 0 $ ✓
2. 归一性： $ int_{0}^{2} frac{1}{2} dx = 1 $ ✓

满足条件，是均匀分布 $ U(0,2) $ 的概率密度函数

期望值的计算

计算 $ X sim U(0,2) $ 的期望

解：

$$ E[X] = int_{0}^{2} x cdot frac{1}{2} dx = frac{1}{2} cdot frac{x^2}{2} Big|_0^2 = frac{1}{2} cdot 2 = 1 $$

几何意义：均匀分布的期望即区间中点

推广： $ U(a,b) $ 的期望为 $ frac{a+b}{2} $

方差的计算

计算 $ X sim U(0,2) $ 的方差

解：先求 $ E[X^2] $

$$ E[X^2] = int_{0}^{2} x^2 cdot frac{1}{2} dx = frac{1}{2} cdot frac{x^3}{3} Big|_0^2 = frac{4}{3} $$ $$ D[X] = E[X^2]
- (E[X])^2 = frac{4}{3}
- 1^2 = frac{1}{3} $$

应用：方差反映数据波动程度，该分布方差为 $ frac{1}{3} $