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核心定理与应用：

• 费马定理：可导极值点处导数为0；
• 罗尔定理：f(a)=f(b) ⇒ ∃ξ∈(a,b)使f'(ξ)=0；
• 拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)；
• 柯西中值定理：[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)；
• 泰勒定理：f(x)=∑f⁽ᵏ⁾(a)(x-a)ᵏ/k! + Rₙ(x)。

典型应用：证明不等式lnx ≤ x-1（x>0）。构造f(x)=x-1-lnx，求导得f'(x)=1-1/x，得极小值f(1)=0，故f(x)≥0。

核心方法：

• 换元法：∫f[φ(x)]φ'(x)dx = ∫f(u)du；
• 分部积分：∫udv = uv
  - ∫vdu；
• 有理函数分解：部分分式拆解；
• 三角有理式：万能代换t=tan(x/2)。

重要结论：

• ∫₀^π/2 sinⁿxdx = ∫₀^π/2 cosⁿxdx = (n-1)/n × (n-3)/(n-2) × ... × π/2（n为偶）或1（n为奇）；
• ∫₀^a f(x)dx = ∫₀^a f(a-x)dx，常用于简化∫₀^π x·f(sinx)dx；
• 变上限积分F(x)=∫ₐˣf(t)dt ⇒ F'(x)=f(x)（f连续）。

年某校真题：计算∫₀^π x·sin³x dx。解：利用对称性，令I=∫₀^π x·sin³x dx，则I=∫₀^π (π-x)·sin³x dx，两式相加得2I=π∫₀^π sin³x dx=π·4/3 ⇒ I=2π/3。

判别法选择策略：

• 正项级数：① 比较判别法（极限形式）；② 比值法（含n!、aⁿ）；③ 根值法（含n次根）；④ 积分判别法（f单调递减）；
• 交错级数：莱布尼茨判别法（bₙ↓0）；
• 般级数：① 绝对收敛⇒收敛；② 条件收敛（如∑(-1)ⁿ/√n）；③ 发散（通项不趋于0）。

幂级数核心：

• 收敛半径R=1/limsup|aₙ|^(1/n) 或 R=lim|aₙ/aₙ₊₁|（若极限存在）；
• 收敛区间：(-R,R)，端点需单独讨论；
• 和函数求法：逐项求导/积分转化为已知级数（如几何级数）。

例：求∑ₙ₌₁^∞ nxⁿ⁻¹的和函数。解：注意到∑xⁿ = x/(1-x)（|x|<1），两边求导得∑nxⁿ⁻¹ = 1/(1-x)²。

关键概念辨析：

• 极限存在 ⇔ 沿任意路径极限相同；
• 连续 ⇏ 可导；可导 ⇒ 连续；
• 偏导数存在 ⇏ 连续；连续 ⇏ 偏导存在；
• 可微 ⇒ 偏导存在且连续；偏导存在且连续 ⇒ 可微；
• 可微 ⇔ Δz = AΔx + BΔy + o(ρ)（ρ=√(Δx²+Δy²)）。

极值判定：设fₓₓ=fᵧᵧ=0，则计算Hessian矩阵H=|fₓₓ fₓᵧ; fᵧₓ fᵧᵧ|：

• H>0且fₓₓ>0 ⇒ 极小值；
• H>0且fₓₓ<0 ⇒ 极大值；
• H<0 ⇒ 鞍点；
• H=0 ⇒ 无法判断。

例：f(x,y)=x³+y³-3xy。驻点(0,0)与(1,1)。H(0,0)=-9<0 ⇒ 鞍点；H(1,1)=36>0且fₓₓ=6>0 ⇒ 极小值f(1,1)=-1。

常见类型与解法：

• 可分离变量：dy/dx = f(x)g(y) ⇒ ∫dy/g(y)=∫f(x)dx；
• 齐次方程：dy/dx = f(y/x) ⇒ 令u=y/x；
• 线性方程：y' + P(x)y = Q(x) ⇒ 积分因子μ=e^∫P(x)dx；
• 伯努利方程：y' + P(x)y = Q(x)yⁿ ⇒ 令z=y^(1-n)；
• 全微分方程：Mdx+Ndy=0且∂M/∂y=∂N/∂x ⇒ 存在u使du=0。

年某校真题：解y' = (2y
- x)/x。改写为y'
- (2/x)y = -1，积分因子μ=e^(-2∫dx/x)=x⁻²，得d(yx⁻²)/dx = -x⁻² ⇒ yx⁻² = x⁻¹ + C ⇒ y = x + Cx²。

每道题解析均包含：

• 思路点拨：解题突破口与关键步骤提示；
• 详细步骤：严格书写推理过程，避免跳步；
• 易错提醒：常见错误类型与规避方法；
• 拓展延伸：相关定理、变式题型与推广结论。

例如对“用柯西准则证明数列收敛”题，不仅给出标准解答，还对比“错误解法”（仅验证前几项），并附“柯西准则 vs 单调有界原理”适用场景对比表。

• 智能诊断：5题快速测评，生成能力雷达图与薄弱点报告；
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