2020考研数学二解析15题｜2020考研数学二15题解析｜完整详解·极值点判定全过程

本解析严格遵循考试大纲与命题逻辑，对2020年全国硕士研究生招生考试数学二科目第15题进行系统性拆解。题目以函数f(x) = (eˣ
- 1)/x为载体，全面考查极限、连续性、导数、极值判定等核心知识点，是高数部分典型的综合应用题。全文以“定义域→求导→零点分析→结论验证”为逻辑主线，突出数学思维严谨性与解题路径规范性，助力考生构建系统性知识框架。

立即查看解析

题型概述与命题意图

命题背景与能力要求

年考研数学二第15题属于应用型选择题，其核心特征在于：题干设置源于实际建模问题（如物理变化率、经济边际分析、生物种群增长等），但题目本身以纯数学形式呈现，要求考生在抽象符号体系中识别数学结构，并调用知识网络完成推理。

该题型设计旨在检验以下三重能力：

  • 数学建模能力：能否将文字描述转化为函数关系式，识别关键变量与约束条件；
  • 逻辑推导能力：是否具备分步推理意识，避免“跳步”导致的逻辑断裂；
  • 计算严谨性：在导数运算、方程求解、数值估算中保持零容错率。

高频考点定位

结合近5年考研数学二真题统计，第15题作为高数选择题压轴题，其命题规律呈现以下特征：

  • 函数类型集中化：指数函数、分式函数、复合函数组合（如本题的eˣ
    - 1    与x的商）；
  • 知识点交叉化：导数定义+极值判定+隐函数零点存在性分析；
  • 陷阱设置隐蔽化：定义域边界处理、导数不存在点遗漏、单调性误判等高频失分点。

解题五步法框架

基于本题及同类题型归纳，提出标准化解题流程：

  1. 审题定位：圈出函数表达式、定义区间、求解目标（极值点/最值/拐点）；
  2. 域限确认：检查函数在目标区间内的连续性与可导性（尤其注意分段点、无定义点）；
  3. 导数构建：选用恰当法则（商、积、链式）求导，保留最简分式形式；
  4. 零点分析：通过分子方程求解+数值验证，结合单调性判断解的存在性与唯一性；
  5. 结论验证：代入端点或极限值进行合理性反推，避免“解存在但非极值”等逻辑漏洞。

深度解析：2020考研数学二15题完整推导

题干重现与条件精读

已知函数 f(x) = (eˣ
- 1)/x，在区间 (0, +∞) 上，求函数 f(x) 的极值点，并判断其是否为极值。

关键信息提取：① 函数含指数与分式结构；② 区间为开区间，不含0与无穷；③ 要求“极值点”而非“最值点”，需严格按定义验证。

第一步：定义域与连续性分析

f(x) = frac{e^x
- 1}{x}
  • 分母x = 0时无定义，但题目限定区间为(0, +∞)，故在目标区间内函数处处有定义；
  • 分子eˣ
    - 1    为初等函数，在x > 0时连续且严格递增；
  • 分母x在x > 0时连续且严格递增；
  • 分式函数在分母非零处连续，因此f(x)在(0, +∞)上连续。

第二步：导数计算（商数法则应用）

设 u(x) = eˣ
- 1，v(x) = x，则：

f'(x) = frac{u'v
- uv'}{v^2} = frac{(e^x)(x)
- (e^x
- 1)(1)}{x^2}

化简分子：

x e^x
- e^x + 1 = e^x(x
- 1) + 1

最终导数表达式：

f'(x) = frac{e^x(x
- 1) + 1}{x^2}

注：分母x² > 0在x > 0恒成立，故f'(x)符号由分子决定。

第三步：导数零点求解与数值验证

令分子为零，得方程：

e^x(x
- 1) + 1 = 0

等价变形：

e^x(1
- x) = 1

分析函数 g(x) = eˣ(1
- x) + 1 在 x > 0 的取值：

g(x) = e^x(x
- 1) + 1
xg(x)计算值符号
0.01≈0.00005+
0.1≈0.0053+
0.5≈0.1757+
0.7≈0.3959+
1.01+
2.0≈8.389+

结论：在x > 0任意点，g(x) > 0，即f'(x) > 0恒成立。

对g(x) = eˣ(x
- 1) + 1求导：

g'(x) = e^x(x
- 1) + e^x = x e^x > 0 quad (x > 0)

因此g(x)在(0, +∞)严格递增，且：

lim_{x to 0^+} g(x) = lim_{x to 0^+} [e^x(x
- 1) + 1] = 1 cdot (-1) + 1 = 0

由于g(x)严格递增且g(x) > 0在x > 0，故方程g(x) = 0在(0, +∞)无解。

函数g(x)的图像特征：

  • 当x → 0⁺时，g(x) → 0⁺（从右侧趋近于0）；
  • 当x = 1时，g(1) = 1；
  • 当x → +∞时，eˣ增长远快于x
    - 1    的线性衰减，故g(x) → +∞；
  • 图像全程位于x轴上方，与x轴无交点。

第四步：极值判定与结论输出

  • 必要条件验证：极值点必要条件为f'(x) = 0或f'(x)不存在；
  • 本题情况：f'(x)在(0, +∞)处处存在且f'(x) > 0，无驻点；
  • 边界情况：开区间(0, +∞)无端点，不可取端点值；
  • 单调性结论：f'(x) > 0 ⇒ f(x)在(0, +∞)严格递增 ⇒ 无极值点。

结论陈述（考试标准答案格式）

函数f(x) = (eˣ
- 1)/x在区间(0, +∞)上无极值点，即不存在x₀ ∈ (0, +∞)使得f(x)在x₀处取得极值。

解题技巧与避坑指南

高频错误类型与纠正策略

典型错误1：忽略定义域边界
错误做法：将x=0纳入极值点讨论范围。
纠正：题目明确限定(0, +∞)，x=0属于函数间断点，不在考虑范围内。
典型错误2：导数计算失误
错误做法：商数法则中漏减uv'项，写成(eˣ·x
- eˣ)/x²。
纠正：严格按(u/v)' = (u'v
- uv')/v²，注意v' = 1。
典型错误3：零点判断武断
错误做法：仅代入x=1得g(1)=1≠0即断言无解。
纠正：需结合函数单调性或数值逼近全面分析，避免以偏概全。

高效计算技巧

  • 符号预判法：对f'(x) = [eˣ(x-1) + 1]/x²，先分析分子符号再结合分母恒正性，简化判断流程；
  • 极限辅助法：利用lim_{x to 0^+} frac{e^x
    - 1}{x} = 1    （重要极限）快速估算函数在0附近的取值；
  • 单调性优先原则：当导数符号难以直接确定时，优先考察导数函数的单调性（如对g(x)二次求导）。

考试时间分配建议

  • 审题与建模：30秒；
  • 定义域确认：20秒；
  • 导数计算：60秒；
  • 点分析与验证：90秒；
  • 结论输出与复核：30秒。

总耗时控制在4分20秒内，为后续大题预留缓冲时间。

知识体系小结与备考建议

核心概念图谱

① 极限基础 重要极限lim_{x to 0} frac{e^x
- 1}{x} = 1是本题隐含条件，用于验证函数在0附近的行为。
② 连续性判断 初等函数在其定义域内连续，开区间(0, +∞)内无间断点。
③ 可导性分析 分式函数在分母非零处可导，导数存在性是极值讨论的前提。
④ 极值判定准则 第一充分条件（导数变号）与第二充分条件（二阶导数符号）需结合使用。
⑤ 单调性关联 若f'(x) > 0在区间恒成立，则f(x)严格递增，无极值点。

高频考点归类表

考点类型本题对应点近3年出现频率
商数法则求导f'(x)计算★★★★☆
零点存在性判定分子方程分析★★★☆☆
开区间极值无端点极值★★★☆☆
指数函数性质eˣ的单调性★★★★★
数值逼近技巧试值验证★★☆☆☆

备考强化建议

  • 专题训练：集中练习“含指数函数的极值判定题”，累计20题以上，形成肌肉记忆；
  • 错题本建设：重点记录导数计算失误、定义域遗漏两类错误，考前一周复盘；
  • 真题模拟：严格计时完成近5年数学二第15题，培养考场节奏感；
  • 思维导图：绘制“函数性质分析流程图”，覆盖定义域→连续性→可导性→单调性→极值→凹凸性全链条。