微观经济学考研题｜系统突破·精准提分

微观经济学考研题对消费者理论的考查极为深入，常结合数学工具考查：拉格朗日乘数法求解最优消费束、斯勒茨基方程分解替代与收入效应、补偿需求与等价变差计算。

解题步骤：
⑴ 构造L = x^0.6y^0.4 − λ(10x + 20y − 1000)
FOC：0.6x^−0.4y^0.4 = 10λ；0.4x^0.6y^−0.6 = 20λ
两式相除得：(0.6/0.4)·(y/x) = 10/20 → y = (2/3)x
代入预算：10x + 20·(2/3)x = 1000 → x = 60，y = 40
⑵ 新价格下维持原消费束成本：8×60 + 20×40 = 1280 → 补偿收入ΔM = 280
⑶ 替代效应：保持实际收入不变（用补偿收入）求新需求
M' = 1280，p_x'=8，p_y=20
同理得：y = (0.4/0.6)·(8/20)x = (8/30)x → x = 75，y = 20
替代效应：Δx_s = 75 − 60 = +15
收入效应：Δx_i = 80 − 75 = +5（总效应Δx = 80 − 60 = +20）

理论延伸：
• 本例中商品x为正常品（收入增加→需求增加）
• 若为Giffen商品，收入效应将大于替代效应，导致需求曲线右上倾斜

生产者理论考查重点在于：成本函数推导（由生产函数导出C(Q)）、
长期/短期成本差异（固定投入导致短期MC与LRAC相切）、利润最大化条件MR=MC的应用。

解题过程：
⑴ 成本最小化：min 4L + 16K s.t. K^0.5L^0.5 = Q
MRTS_LK = MP_L/MP_K = K/L = w/r = 4/16 = 1/4 → K = L/4
代入约束：(L/4)^0.5L^0.5 = Q → (L/4)^0.5L^0.5 = L/2 = Q → L = 2Q，K = Q/2
LTC(Q) = 4×2Q + 16×(Q/2) = 8Q + 8Q = 16Q
⑵ K=4固定，Q = 4^0.5L^0.5 = 2L^0.5 → L = (Q/2)² = Q²/4
STC(Q) = wL + rK = 4×(Q²/4) + 16×4 = Q² + 64
⑶ SMC = dSTC/dQ = 2Q；SAC = STC/Q = Q + 64/Q；LAC = LTC/Q = 16
当Q=8：SMC=16，SAC=8+8=16，LAC=16 → 三者相等

命题陷阱：
• 混淆短期与长期成本函数的推导路径
• 忽视固定成本在短期存在（K固定）导致SAC ≠ LAC
• 未验证二阶条件（成本最小化需MRTS递减）

微观经济学考研题中，市场结构题型最为丰富，尤以寡头模型为难点：古诺模型均衡求解、斯坦伯格领导者-跟随者均衡、伯川德价格战模型、垄断竞争长期均衡条件。

解：
⑴ 古诺模型：
企业2反应函数：π₂ = (100 − q₁ − q₂)q₂ − 10q₂
dπ₂/dq₂ = 90 − q₁ − 2q₂ = 0 → q₂ = 45 − 0.5q₁
同理企业1：q₁ = 45 − 0.5q₂
联立解得：q₁=q₂=30，Q=60，P=40
利润：π₁=π₂=(40−10)×30=900
⑵ 斯坦伯格模型（企业1先行动）：
企业2仍按古诺反应函数：q₂=45−0.5q₁
企业1代入利润：π₁ = [100 − q₁ − (45−0.5q₁)]q₁ − 10q₁ = (55 − 0.5q₁)q₁ − 10q₁
dπ₁/dq₁ = 45 − q₁ = 0 → q₁=45，q₂=22.5，Q=67.5，P=32.5
π₁=(32.5−10)×45=1012.5 > 900
⑶ 企业1利润提高12.5%，体现先动优势

对比分析：
• 完全竞争：P=MC→Q=90，P=10
• 垄断：MR=MC→100−2Q=10→Q=45，P=55
• 古诺双寡头产量居中；斯坦伯格产量更接近竞争水平，价格更低

博弈论考查从纯策略纳什均衡拓展至混合策略、重复博弈与信号传递。核心题型：支付矩阵求均衡、扩展型博弈逆向归纳、信号博弈均衡筛选。

解：
⑴ 纳什均衡：
• E选E：I最优为A（3>2）
• E选N：I最优为A（4>5？错！5>4，应选R）
修正：I在N分支，选R得5，选A得4→选R
故策略组合(N,R)：E得0（若偏离E得−1），I得5（若偏离A得4）→是均衡
E选E时，I选A；E不会偏离（2>0）；I若偏离R得2<3→不偏离
故(N,R)与(E,A)均为纯策略纳什均衡
• (E,A)：E得2，I得3
• (N,R)：E得0，I得5
⑵ 重复两次博弈，可通过“触发策略”实现合作：
第一期双方合作（E不进入，I默许）得(0,5)；若偏离，则第二期惩罚（E进入，I抵抗）得(−1,2)
I在第一期合作收益5 + 2 = 7 > 离散收益4 + 5 = 9？需计算贴现因子δ
合作收益流：5 + 5δ
偏离收益流：4 + 5δ（第一期选A得4，第二期I仍可得5）→ 无激励偏离
但若I在第一期选R得5，E不进入，I仍得5；偏离无收益增加
实际上，(N,R)本身已是子博弈精炼均衡（I在E不进入时抵抗是可信威胁）

理论要点：
• 纳什均衡不要求策略在非均衡路径上最优；子博弈精炼均衡要求所有子博弈均衡
• 本例中(N,R)是子博弈精炼均衡（因进入后I抵抗是最优反应）

外部性题型侧重：社会边际成本与私人边际成本偏差、庇古税/补贴设计、科斯定理应用条件、公共物品非排他性导致的搭便车问题。

解：
⑴ 私人最优：π = 12q − q² − 2q² = 12q − 3q²
dπ/dq = 12 − 6q = 0 → q_p = 2
社会最优：社会福利W = 消费者剩余 + 工厂利润 − 污染成本
= ∫₀^q(15−x)dx − (12q − q²) − 2q² = [15q − q²/2] − 12q + q² − 2q² = 3q − 1.5q²
dW/dq = 3 − 3q = 0 → q_s = 1
⑵ 庇古税t应使企业边际成本增加t，令MR = MC + t
私人MC = d/dq(q² + 2q²) = 6q（工厂成本含污染？题设π=12q−q²为利润，故私人MC=2q；污染MC=d(2q²)/dq=4q）
社会MC = 私人MC + 外部成本 = 2q + 4q = 6q
私人决策：P = 私人MC → 15 − q = 2q → q=5？矛盾！
重新审题：π(q)=12q−q² ⇒ MR=12−2q，MC=2q ⇒ 均衡：12−2q=2q→q=3
污染成本C(q)=2q² ⇒ 边际外部成本MEC=4q
社会最优：P = 社会MC = 私人MC + MEC = 2q + 4q = 6q
15 − q = 6q → q=15/7≈2.14？但W最大化：W=TR−TC−C=15q−q²−(12q−q²)−2q²=3q−2q²
dW/dq=3−4q=0→q=0.75
• 私人均衡：q=3（MR=MC）
• 社会最优：q=0.75（边际社会收益=边际社会成本）
⑵ 庇古税t=MEC在q=0.75处的值=4×0.75=3
企业新MC'=2q+3，令12−2q=2q+3→q=2.25？仍不对
正确做法：企业利润π=12q−q²−tq（税），MC=2q+t
令P=MC：15−q=2q+t → q=(15−t)/3
令q=0.75：(15−t)/3=0.75→15−t=2.25→t=12.75
此时社会最优
⑶ 限量q=0.75，许可证供给固定。企业需求：利润π=12q−q²−pq_许可证（假设每单位产量需一证）
最优q满足：12−2q=p → q=(12−p)/2
令q=0.75：(12−p)/2=0.75→p=10.5
故均衡许可证价格为10.5

政策启示：
• 庇古税应等于边际外部成本
• 许可证价格由企业边际收益决定，等于该产量下的外部成本（本例10.5 ≈ MEC(0.75)=3？不，因许可证直接限制产量）

政策题考查：价格上限/下限的福利影响、补贴的扭曲效应、反垄断政策适用标准、成本-收益分析法应用。

解：
⑴ 自由均衡：120−2P=2P−20→4P=140→P=35，Q=50
价格上限P=25：
Q_d=120−50=70，Q_s=50−20=30
短缺=70−30=40
⑵ 原CS=0.5×(60−35)×50=625（P_max=60）
新CS=0.5×(60−25)×30 + (25−20)×30 = 525 + 150 = 675？错！
CS = 消费者愿意支付 − 实际支出
图形：价格上限下，仅30单位交易，价格25
CS = 梯形：上底=120−2×25=70？不，需求函数反解P=60−0.5Q
CS = ∫₀³⁰(60−0.5q)dq − 25×30 = [60q−0.25q²]₀³⁰ − 750 = (1800−225)−750 = 825
原CS = ∫₀⁵⁰(60−0.5q)dq − 35×50 = (3000−625)−1750 = 625
新CS = 825，增加200
PS = 实际收入 − 可变成本
原PS = 35×50 − ∫₀⁵⁰(10+0.5q)dq = 1750 − [10q+0.25q²]₀⁵⁰ = 1750−(500+625)=625
新PS = 25×30 − ∫₀³⁰(10+0.5q)dq = 750 − (300+112.5)=337.5
无谓损失 = 原总剩余 − 新总剩余 = 1250 − (825+337.5) = 87.5
⑶ 补贴s使消费者实际支付P_d=25，生产者得P_s=25+s
供需平衡：120−2×25 = 2(25+s)−20 → 70 = 30 + 2s → s=20
交易量Q=70
新CS = ∫₀⁷⁰(60−0.5q)dq − 25×70 = (4200−1225)−1750 = 1225
新PS = (25+20)×70 − ∫₀⁷⁰(10+0.5q)dq = 3150 − (700+1225)=1225
无谓损失=0（完全消除）

关键结论：
• 价格上限导致短缺与无谓损失
• 补贴可消除扭曲，但需财政支出

考查：埃奇沃思盒图解、契约曲线推导、生产契约曲线与帕累托效率、两大福利定理证明逻辑。

解：
总禀赋X=8，Y=8
⑴ 契约曲线：MRTS_A = MRTS_B
A：MRTS_A = y_A/x_A
B：MRTS_B = 1（线性效用，边际替代率恒为1）
故 y_A/x_A = 1 → y_A = x_A
约束：x_A + x_B = 8，y_A + y_B = 8
故契约曲线为：A的消费点满足y_A=x_A，0≤x_A≤8
⑵ 竞争均衡：设价格p_x=1，p_y=p
A的预算：2+2p，需求满足x_A=y_A（因效用函数对称），故x_A=y_A=(2+2p)/2=1+p
B的预算：6+6p，因u_By<1则只买Y；p_y>1只买X；p_y=1时无差异
均衡需p=1：
A：x_A=y_A=2
B：x_B=6，y_B=6（任意组合，但需满足市场出清：x_A+x_B=8→x_B=6）
故均衡分配为A(2,2)，B(6,6)，与禀赋相同
是否公平？A初始即为(2,2)，B为(6,6)，竞争均衡未改变分配
若想更公平（如A得(4,4)），需初始再分配后竞争均衡可实现帕累托改进

福利定理应用：
• 第一福利定理：竞争均衡是帕累托有效的（本例中A的MRTS=1=B的MRS）
• 第二福利定理：任何帕累托有效配置可通过初始禀赋再分配+竞争均衡实现