统计学基础：抽样分布与推断起点

本模块考查统计量的构建与抽样理论，是后续推断的基础。2021–2024年共出现7道大题，多与假设检验结合命题。

核心内容：

• 大抽样分布：χ²、t、F分布的定义、性质及分位点查表（如2023年给定α=0.05，求F₀.₀₅(4,12)）；
• 正态总体样本均值与样本方差的独立性（重要定理，常作为综合题前提）；
• 置信区间的构造逻辑：点估计±误差限，强调“覆盖概率”含义；
• 样本容量与精度关系：如2022年问“为使μ的95%置信区间宽度≤2，样本量至少为多少？”。

易错点提示：许多考生混淆“置信区间包含μ的概率”与“μ落在某区间的概率”，需牢记：区间是随机的，μ是固定的；置信水平是对长期频率的保障。

随机过程：马尔可夫链与泊松过程

本模块虽分值占比约12%，但命题稳定，多以填空、选择及小计算题出现。2020年前考查较少，2021年起成为必考模块。

重点题型：

• 马尔可夫链的一步/多步转移概率矩阵计算（如2024年给定状态转移图，求P(X₂=2|X₀=1)）；
• 平稳分布求解：解方程πP=π，结合归一化条件；
• 泊松过程：N(t)~P(λt)，独立增量性应用（如2023年问“某客服中心每小时接20通电话，求30分钟内接5通且第1通在前10分钟的概率”）；
• 维纳过程（布朗运动）：X(t)~N(μt,σ²t)，求路径性质与首达时近似。

实战技巧：马尔可夫链题常设陷阱——状态是否可约？是否遍历？如2022年题中状态3为吸收态，需单独处理。

统计推断与假设检验：核心难点与高频大题

本模块是广州大学数理统计学考研真题的“压轴题区”，2021–2024年连续四年设15分以上综合题。

命题规律：

• 单样本t检验、配对t检验（如2024年“对比两组学生成绩，n₁=25,n₂=23，方差齐性检验p=0.12，应如何选择检验方法？”）；
• 卡方拟合优度检验（如2023年“检验广州某区居民职业分布是否符合全国比例”）；
• 似然比检验（LRT）的构造与渐近分布应用（2022年考题，要求写出H₀:σ²=σ₀² vs H₁:σ²≠σ₀²的LRT统计量）；
• I类与II类错误权衡：结合实际意义解释（如2021年医疗检测中，α大则误诊多，β大则漏诊多）。

典型真题：〈2024·综合题〉某药企声称新药降压有效率≥85%，随机抽检120人，94人有效。在α=0.05下检验该声称是否成立，并计算β(0.80)。

解答步骤：H₀:p≥0.85 vs H₁:p<0.85；Z=(0.7833-0.85)/√(0.85×0.15/120)=-1.87；p值=0.0307<0.05 ⇒ 拒绝H₀；β(0.80)=P(Z>-1.645 | p=0.80)≈0.28。

回归分析：从线性模型到诊断检验

本模块强调“建模→估计→检验→诊断”全流程，近年真题中计算与解释题占比70%。

核心内容：

• 简单线性回归：最小二乘估计的推导与性质（如2023年要求证明β̂₁的方差为σ²/∑(xᵢ−x̄)²）；
• 模型检验：F检验（整体显著性）、t检验（单个系数）、决定系数R²与修正R²比较；
• 残差分析：标准化残差、杠杆值、Cook距离识别异常点（如2022年给残差图判断异方差性）；
• 变量选择：逐步回归、AIC/BIC准则应用（2024年考题要求比较两模型AIC值）。

真题案例：〈2023年·应用题〉建立y（广州房价）对x₁（面积）、x₂（楼层）、x₃（距地铁距离）的多元线性回归，输出中x₃的p=0.031，能否直接认为“距离显著影响房价”？

关键点：需先通过VIF检验多重共线性（如x₁与x₂高度相关），再结合偏相关系数判断；若存在共线性，p值可能不可靠。

时间序列分析：平稳性与ARIMA建模

本模块为近年新增重点，2022年起固定15分大题，考查ARIMA模型全流程。

命题重点：

• 平稳性判定：自相关图（ACF）衰减速度、单位根检验（ADF）结果解读（如2024年给ADF统计量-2.85，临界值-3.43，判断是否平稳）；
• 差分阶数确定：一阶差分后ACF快速衰减 ⇒ d=1；
• 参数识别：AR(p)模型ACF拖尾、PACF截尾；MA(q)反之（如2023年给PACF在滞后1阶显著，ACF拖尾 ⇒ 可能为AR(1)）；
• 模型预测：基于拟合参数计算h步预测值（如2022年AR(1):Xₜ=0.6Xₜ₋₁+εₜ，X₁₀₀=50，求X̂₁₀₂）。

避坑指南：许多考生忽略“差分后残差白噪声检验”，应检查Ljung-Box统计量p值>0.05；若不满足，需调整阶数或考虑GARCH模型。

统计软件应用：R与Python实操题

本模块为“送分题”但易失分，2021年起单独命题，要求理解代码逻辑并解读输出。

高频考点：

• R语言基础：`lm()`, `t.test()`, `arima()`, `acf()`, `plot()`等函数的输入输出；
• 关键输出解读：`Estimate`（系数）、`Std.Error`、`t value`、`Pr(>|t|)`、`Residual standard error`、`Multiple R-squared`；
• Python中`statsmodels`/`scipy`常用函数（如2024年给出`scipy.stats.ttest_1samp`结果，要求写结论）；
• 绘图理解：QQ图判断正态性、残差图判断异方差、时序图识别趋势/季节性。

真题示例：〈2024年〉运行以下R代码：`fit <
- arima(x, order=c(1,1,0)); summary(fit)`。输出中`ar1=0.42, s.e.=0.11`，问该模型是否平稳？为何？

答案：平稳。因差分后序列为AR(1)，其特征根为1−0.42B=0 ⇒ B=1/0.42>1，满足平稳性条件（|φ|<1）。