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价格弹性是市场营销中最重要的数学概念之一，其计算依赖于导数知识。设需求函数为Q = a
- bp，其中Q为需求量，p为价格，a、b为参数，则价格弹性ε = (dQ/dp)·(p/Q) = -b·(p/Q)。

企业利润π = (p
- c)·Q = (p
- c)(a
- bp)，对p求导得dπ/dp = a
- bp
- b(p
- c) = a + bc
- 2bp。令导数为零，得最优价格p = (a + bc)/(2b) = a/(2b) + c/2。这表明最优价格等于边际成本c的一半加上截距项的一半，直观体现了成本与需求的权衡关系。

在市场调研中，样本均值的置信区间估计是概率论与数理统计的直接应用。设总体标准差σ已知，样本容量为n，则样本均值的抽样分布服从N(μ, σ²/n)。

%置信区间为：x̄ ± 1.96·(σ/√n)。当σ未知时，使用样本标准差s代替，且n≥30时近似使用z分布，n<30时使用t分布。

注意事项：样本容量n越大，置信区间越窄，估计越精确；但当n>50时，边际效益递减。实践中，n=300-500是市场调研的常用样本量区间。

营销组合优化问题可建模为线性规划问题。设x₁、x₂、x₃、x₄分别为产品、价格、渠道、促销的投入强度（归一化），目标是最大化销售额S。

约束条件包括：预算限制（c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ + c₄x₄ ≤ B）、资源上限（xᵢ ≤ Mᵢ）、非负性（xᵢ ≥ 0）。

实际应用中，常引入交互效应项，如x₁x₂（产品与价格的协同效应），此时问题转化为二次规划，需使用拉格朗日乘数法求解。

市场细分常使用K-均值聚类算法，其核心是距离度量与目标函数最小化。设n个消费者在m维属性空间中的坐标为xᵢ = (xᵢ₁, xᵢ₂, ..., xᵢₘ)，K个聚类中心为μⱼ。

目标函数J = Σᵢ Σⱼ wᵢⱼ ||xᵢ
- μⱼ||²，其中wᵢⱼ = 1当且仅当第i个样本属于第j类，否则为0。

迭代步骤：①初始化K个中心；②分配样本到最近中心；③更新中心为类内均值；④重复②③直至收敛。

经典供需模型：需求函数Q_d = a
- bp，供给函数Q_s = c + dp，均衡时Q_d = Q_s。

解得均衡价格p = (a
- c)/(b + d)，均衡数量q = (ad + bc)/(b + d)。

引入税收t后，供给函数变为Q_s = c + d(p
- t)，新均衡价格p_t = (a
- c + dt)/(b + d)，消费者承担价格为p_t，生产者实际获得p_t
- t。

税收负担分配：消费者承担比例 = d/(b + d)，生产者承担比例 = b/(b + d)。需求越缺乏弹性（b小），消费者承担越多；供给越缺乏弹性（d小），生产者承担越多。

双寡头市场常用古诺模型分析。设两家厂商，需求函数p = a
- b(q₁ + q₂)，成本函数c₁(q₁) = cq₁，c₂(q₂) = cq₂。

厂商1的利润π₁ = (a
- b(q₁ + q₂)
- c)q₁，对q₁求导得反应函数：q₁ = (a
- c
- bq₂)/(2b)。

同理，q₂ = (a
- c
- bq₁)/(2b)。联立解得纳什均衡：q₁ = q₂ = (a
- c)/(3b)，p = a
- 2b·(a
- c)/(3b) = (a + 2c)/3。

对比完全竞争（p=c）与垄断（q=(a-c)/(2b), p=(a+c)/2），双寡头价格介于两者之间。