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内力与变形计算：结构分析的基石

内力计算是位移分析的前提，真题中90%以上涉及梁、刚架、桁架的 M、Q、N 图绘制。关键要点：

• 截面法：取隔离体，列平衡方程 ΣX=0, ΣY=0, ΣM=0；
• 微分关系法：利用 q-dQ/dx, Q-dM/dx 关系快速判断弯矩图形状（如均布荷载下 M 图为抛物线）；
• 对称性利用：对称结构在对称荷载下，对称轴上反对称未知力为零（如弯矩、剪力），可简化计算。

变形计算以图乘法为主流方法，但需注意：

• 图乘法适用条件：杆轴为直线、EI 为常数、两个弯矩图中至少一个为直线图形；
• y_C 必须取自直线图形；
• 面积与 y_C 符号规则：同侧为正，异侧为负。

典型真题示例：求图示悬臂梁自由端 C 的竖向位移 Δ_Cy（EI=常数）。

荷载：AB段均布荷载 q，BC段无荷载；AB=l，BC=l。

解：

1. 画实际状态 M 图：AB段为二次抛物线，y_C = ql⁴/(8EI)（标准结果）；
2. 画虚拟单位力状态 M̄ 图：为直线，最大值在 B 点为 -l；
3. 图乘：Δ_Cy = (1/EI) × [ (1/2 × l × ql²/2) × (-l/3) + (1/2 × l × ql²/2) × (-2l/3) ] = -5ql⁴/(24EI)（↓）。

注：负号表示位移方向与单位力方向相反，即向下。

应力与应变关系：材料行为的力学语言

虽然结构力学以构件体系为对象，但应力-应变关系仍是连接荷载与变形的桥梁。真题中常以以下形式出现：

• 胡克定律应用：σ = Eε，用于组合变形（如弯扭组合）中合成应力计算；
• 应变能计算：U = ∫M²dx/(2EI)，用于卡氏定理求位移；
• 屈曲临界荷载推导：基于能量法，总势能 Π = U
  - W = 0 的极值条件。

典型真题示例：用能量法求两端铰支理想压杆的临界荷载。

解：

1. 设失稳形态 y(x) = A sin(πx/l)；
2. 应变能 U = (1/2)∫₀ˡ EI (y'')² dx = (1/2)EI A² (π²/l²)² ∫₀ˡ sin²(πx/l) dx = EI A² π⁴/(4l³)；
3. 荷载势能 W = (1/2)P ∫₀ˡ (y')² dx = (1/2)P A² (π/l)² ∫₀ˡ cos²(πx/l) dx = P A² π²/(4l)；
4. 令 Π = U
   - W = 0 ⇒ P_cr = π²EI / l²。

此即欧拉公式，证明能量法与微分方程法等价。

结构体系与受力分析：从静定到超静定

静定结构内力仅由平衡条件确定，超静定结构需补充变形协调条件。真题分布如下：

• 静定结构：三铰拱、简支刚架、静定桁架——重点考 M、Q、N 图绘制及支座反力计算；
• 超静定结构：力法（以多余未知力为未知量）、位移法（以结点位移为未知量）——力法常考 1~3 次超静定，位移法常考刚架。

力法典型例题：求图示一次超静定梁的弯矩图（跨度 l，均布荷载 q，B 为固定端，A 为弹性支座，转动刚度 k）。

解：

1. 取多余未知力 X₁ = M_A；
2. 基本体系：简支梁 + 自由端力偶 M₁；
3. 典型方程：δ₁₁X₁ + Δ₁P = 0；
4. 计算 δ₁₁ = l/(3EI), Δ₁P = -ql³/(24EI)；
5. 得 X₁ = -ql²/8；
6. 最终 M = M₁X₁ + M_P，作图即可。

注：弹性支座使固定端弯矩绝对值小于刚性支座（ql²/8）。

位移计算方法：从图乘法到矩阵位移法

位移计算是验算结构刚度、解超静定问题的基础。真题中高频方法：

• 图乘法：适用于直杆、EI=常数体系；
• 虚功原理：通用性强，适用于曲杆、变截面；
• 位移法：与力法互补，是矩阵位移法基础；
• 图乘叠加法：处理复杂荷载（分段图乘）。

典型真题示例：求图示刚架 D 点的水平位移 Δ_Dx（各杆 EI 相同）。

结构：AB（竖杆，高 h）、BC（横杆，长 l）、CD（斜杆，长 √(l²+h²)）；B 点作用水平力 P。

解：

1. 画实际弯矩图：AB段 M=Ph（常数），BC段 M=Px（0~l），CD段无弯矩（二力杆）；
2. 画虚拟单位力 M̄ 图：在 D 加水平单位力，得 M̄_AB=h（常数），M̄_BC=x（0~l），M̄_CD=0；
3. 图乘：Δ_Dx = (1/EI)[ ∫₀ʰ Ph·h dx + ∫₀ˡ Px·x dx ] = (1/EI)[ Ph²l + Pl³/3 ] = Pl(h² + l²/3)/EI。

注：斜杆 CD 虽有轴向变形，但弯矩为零，对 Δ_Dx 无贡献。

填空题：精准记忆的“试金石”

占比约20%，每空2分。高频填空：

• 图乘法中 y_C 的取值位置：直线图形；
• 力法典型方程中 δ_ii 的物理意义：单位力 X_i=1 引起的沿 X_i 方向的位移；
• 位移法基本未知量个数：独立结点角位移 + 独立结点线位移；
• 欧拉公式适用范围：λ ≥ λ_p（比例极限对应的长细比）。

典型真题：图示结构用位移法计算时，基本未知量个数为______。（结构：两跨连续梁，中间支座为刚性支座）

答案：0（静定梁，无结点位移）

计算题：拉分与保分的“主战场”

占比约50%，每题15~20分。核心要求：

1. 建模准确：正确画出计算简图（支座类型、荷载简化）；
2. 步骤完整：写清平衡方程、求解过程、结果标注；
3. 单位统一：N、mm、MPa 或 kN、m、kPa，全程一致；
4. 结果验证：如 M 图应满足结点力矩平衡、剪力图应与荷载微分关系一致。

常见扣分点：

• 未画受力图，直接列方程；
• 弯矩图画在受拉侧但未标注；
• 计算过程中跳步（如未写出代入数值过程）；
• 结果保留有效数字错误（如 3.14159 写成 3.14）。

综合分析题：能力分层的“终极考验”

占比约15%，20分以上。常融合：

• 静定结构位移 + 超静定结构内力；
• 温度作用下的内力与位移；
• 移动荷载下的最不利位置 + 影响线应用。

典型真题：某门式刚架（跨度 24m，柱高 8m），柱脚刚接，横梁承受均布荷载 q=30kN/m。试：

1. 用位移法作 M 图（柱、梁 EI 相同）；
2. 求跨中竖向位移；
3. 若横梁上缘温度升高 Δt，下缘不变，求顶点水平位移（线膨胀系数 α）。

解题思路：

1. 位移法：基本未知量为横梁结点角位移 θ_B、θ_C 和侧移 Δ；
2. 建立典型方程，求系数与自由项；
3. 图乘法求位移；
4. 温度作用下，Δ_t = αΔt h / h = αΔt（侧移），再叠加荷载位移。

注：温度引起的弯矩图呈线性分布，M = αE I Δt / h。