年考研数学三真题权威解析与深度备考指南

【解题思路】

本题为带约束的多元函数极值问题，需分两步处理：

1. 内部极值：求无条件极值点（驻点）
2. 边界极值：在约束 $x^2 + y^2 = 4$ 下用拉格朗日乘数法

第一步：求内部驻点

计算偏导：

$$ frac{partial f}{partial x} = 2x
- 2y, quad frac{partial f}{partial y} = 2y
- 2x $$

令偏导为零：$2x
- 2y = 0 Rightarrow x = y$，代入约束得 $x = y = 0$，即驻点 $(0,0)$，$f(0,0)=0$。

第二步：边界分析（$x^2 + y^2 = 4$）

构造拉格朗日函数：

$$ mathcal{L}(x,y,lambda) = x^2 + y^2
- 2xy
- lambda(x^2 + y^2
- 4) $$

求偏导：

$$ begin{cases} frac{partial mathcal{L}}{partial x} = 2x
- 2y
- 2lambda x = 0 \ frac{partial mathcal{L}}{partial y} = 2y
- 2x
- 2lambda y = 0 \ x^2 + y^2 = 4 end{cases} $$

化简前两式：

$$ begin{cases} x(1
- lambda) = y \ y(1
- lambda) = x end{cases} $$

联立得 $x = y$ 或 $x = -y$：

• 若 $x = y$，代入约束：$2x^2 = 4 Rightarrow x = pm sqrt{2}$，点 $(sqrt{2},sqrt{2})$、$(-sqrt{2},-sqrt{2})$，$f=0$
• 若 $x = -y$，代入约束：$2x^2 = 4 Rightarrow x = pm sqrt{2}$，点 $(sqrt{2},-sqrt{2})$、$(-sqrt{2},sqrt{2})$，$f=8$

结论：最大值为8，最小值为0。

易错点：忽略边界分析直接判断内部极值；拉格朗日乘数法计算时未考虑 $lambda=1$ 的特殊情况；边界参数化（如 $x=2costheta,y=2sintheta$）更简便。

【解题思路】

次型正定 ⇔ 矩阵 $A$ 所有顺序主子式 > 0（霍尔维茨定理）。

计算各阶顺序主子式：

• 阶：$Delta_1 = 2 > 0$（恒成立）
• 阶：$Delta_2 = begin{vmatrix} 2 & 1 \ 1 & a end{vmatrix} = 2a
  - 1 > 0 Rightarrow a > frac{1}{2}$
• 阶：$Delta_3 = det(A) = 2begin{vmatrix} a & 1 \ 1 & 2 end{vmatrix}
  - 1begin{vmatrix} 1 & 1 \ 0 & 2 end{vmatrix} + 0 = 2(2a
  - 1)
  - 2 = 4a
  - 4 > 0 Rightarrow a > 1$

者交集：$a > 1$。

验证：当 $a=1.1$ 时，$Delta_3=4×1.1-4=0.4>0$，满足；当 $a=1$ 时，$Delta_3=0$，矩阵半正定，不正定。

拓展方法：也可通过特征值判断（计算量大），或配方法（需技巧性）。

【解题思路】

精确计算（泊松分布）：

$$ P(X geq 8) = 1
- P(X leq 7) = 1
- sum_{k=0}^{7} frac{e^{-5} 5^k}{k!} $$

查泊松分布表或计算得：

$P(X=0)=0.0067$, $P(X=1)=0.0337$, $P(X=2)=0.0842$, $P(X=3)=0.1404$, $P(X=4)=0.1755$, $P(X=5)=0.1755$, $P(X=6)=0.1462$, $P(X=7)=0.1044$

累加：$P(X leq 7) approx 0.8666$

故 $P(X geq 8) approx 1
- 0.8666 = 0.1334$

正态近似：

当 $lambda$ 较大时，$X approx N(lambda, lambda) = N(5, 5)$

应用连续性修正：

$$ P(X geq 8) = P(X > 7.5) approx Pleft(Z > frac{7.5
- 5}{sqrt{5}}right) = P(Z > 1.118) $$

查标准正态表：$Phi(1.12) approx 0.8686$

故 $P(Z > 1.118) approx 1
- 0.8686 = 0.1314$

结论：精确值0.1334，近似值0.1314，误差仅0.002，近似效果良好。

关键点：泊松分布正态近似的适用条件为 $lambda > 5$；连续性修正是提高精度的关键步骤。