北大考研数学分析试题2021年｜真题全景解析

年第5题以变限积分与反常积分为核心，要求计算∫₀¹lnxln(1−x)dx，并证明其等于2−π²/6。该题综合运用分部积分、幂级数展开、黎曼和极限等多重方法，是典型“小题大做”型题目，考查知识迁移能力。

关键考点包括：牛顿-莱布尼茨公式的严格证明；定积分的可加性与线性性；积分中值定理的推广；反常积分的柯西准则与比较判别法；含参变量积分的一致收敛性与连续性/可微性交换。

2021年真题示例：设f(x)在[0,1]上连续，定义F(x)=∫₀^x(x−t)f(t)dt。证明：F″(x)=f(x)。

年第6题聚焦幂级数的收敛域与和函数，要求求解幂级数∑_n=1^∞xⁿ/(n(n+1))的收敛半径、收敛域，并求其和函数。该题需综合运用比值判别法、端点处的敛散性分析、分部求和法等技巧。

核心考点包括：级数收敛的必要条件与充分条件；正项级数的比较、比值、根值判别法；交错级数的莱布尼茨判别法；绝对收敛与条件收敛；阿贝尔定理与鲁斯定理；幂级数的收敛圆与和函数求法；傅里叶级数的收敛性（狄利克雷条件）。

2021年真题示例：设a_n>0，∑a_n收敛，证明：∑a_nlna_n可能收敛也可能发散，并各举一例。

年第7题以隐函数定理为背景，考查非线性方程组解的存在性与可微性。题目给出方程组F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0，要求证明在特定条件下可解出y=φ(x), z=ψ(x)，并求导数dy/dx, dz/dx。该题体现从一元到多元的思维跃迁，强调雅可比矩阵的核心作用。

关键考点包括：多元函数的极限与连续性；偏导数与全微分的关系；方向导数与梯度；链式法则与雅可比矩阵；隐函数定理与反函数定理；拉格朗日乘数法；泰勒公式（带余项）。

2021年真题示例：设f(x,y)在(0,0)处可微，f(0,0)=0，且沿任意方向l=(cosθ,sinθ)的方向导数均为0。证明：f在(0,0)处的梯度为零向量。

年第8题综合考查重积分、曲线积分与曲面积分的内在联系，要求计算空间闭曲面S上的曲面积分∬_S(x³dydz+y³dzdx+z³dxdy)，其中S为球面x²+y²+z²=R²的外侧。该题需灵活运用高斯公式，体现“降维”思想。

核心考点包括：二重积分的变量替换（雅可比行列式）；三重积分的柱坐标与球坐标变换；重积分的应用（体积、质心、转动惯量）；第一型与第二型曲线积分；格林公式、斯托克斯公式、高斯公式的几何意义与适用条件；散度与旋度的物理含义。

2021年真题示例：设P(x,y), Q(x,y)在单连通区域D内具有一阶连续偏导数，且对D内任一闭曲线L，有∮_LPdx+Qdy=0。证明：存在函数u(x,y)使du=Pdx+Qdy。

虽然2021年试题未直接考查勒贝格积分，但多道证明题隐含实变函数思想。例如第1题对实数完备性的讨论，实质上涉及康托尔集合、贝尔空间等概念。命题组通过“以小见大”的方式，考查考生对现代分析数学根基的理解深度。

延伸考点包括：集合的势与可数性；开集与闭集的结构；贝尔纲定理；一致收敛与逐点收敛的区别；阿斯科利定理；勒贝格控制收敛定理的直观理解。

2021年真题示例：设E⊂ℝ是可测集，f:E→ℝ是可测函数，证明：对任意ε>0，存在闭集F⊂E，使m(E−F)<ε且f在F上一致连续。