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【2022年·量子力学】氢原子基态概率密度计算

题目：氢原子中电子在能量最低态（n=1）时的波函数为：

ψ₁ₛ(r) = 1/√(πa₀³) · e⁻ʳ/ᵃ⁰

问题：计算电子在r=0处的概率密度，并说明其物理意义。

标准解题步骤

1. 理解概念：概率密度定义为|ψ(r)|²，而非|ψ(r)|²dV（后者是概率）
2. 代入计算：|ψ₁ₛ(0)|² = (1/√(πa₀³))² = 1/(πa₀³)
3. 物理意义：该值表示在原子核位置（r=0）处单位体积内找到电子的概率密度，但需注意电子在r=0处的“概率”实际为零（因体积元dV→0），真正有意义的是径向概率分布P(r)=4πr²|ψ|²

常见错误分析

• 错误：将|ψ|²直接等同于“在r处找到电子的概率”——忽略体积元影响
• 错误：计算径向分布最大值时误用r=0——正确应为dP/dr=0解得r=a₀（玻尔半径）
• 错误：单位遗漏——概率密度单位应为m⁻³，a₀≈5.29×10⁻¹¹m

拓展知识

该题隐含考查对“电子云”概念的理解：氢原子基态电子概率密度在核处最大，但电子最可能出现在r=a₀处（概率密度峰值≠概率最大位置）。此区分是理解原子结构的关键。

【2021年·热力学】理想气体自由膨胀熵变计算

题目：1mol理想气体在绝热容器中向真空自由膨胀，体积由V₁增至V₂，求熵变ΔS。

解题思路

1. 识别过程：自由膨胀是绝热不可逆过程（Q=0，W=0，ΔU=0），但ΔS≠0（熵是状态函数）
2. 构造可逆路径：选择等温可逆膨胀连接初末态（因ΔU=0）
3. 应用公式：ΔS = ∫dQ_rev/T = nRln(V₂/V₁)

标准答案

ΔS = Rln(V₂/V₁) > 0，符合热力学第二定律

命题意图

考查对“熵变计算必须通过可逆路径”的深刻理解，区分过程量与状态函数。许多考生误用ΔS=∫dQ/T=0（因Q=0），暴露对熵本质认识的误区。

延伸思考

若为实际气体，自由膨胀后温度可能变化（焦耳效应），此时需结合热容与状态方程计算ΔS，体现对理想气体模型适用范围的把握。

【2020年·电磁学】导体腔内电场屏蔽效应

题目：一空腔导体外壳内无电荷，腔内放置点电荷q，问外壳外表面电荷分布是否均匀？腔外电场是否受q位置影响？

解题要点

1. 静电屏蔽原理：导体空腔可屏蔽外电场对腔内影响（外电场→腔内E=0），但腔内电荷会在外表面感应出等量电荷
2. 外表面电荷分布：若外壳为球形且q在中心，则分布均匀；若q偏离中心，外表面电荷分布仍均匀（因导体为等势体，外表面电荷分布仅由总电量决定）
3. 腔外电场：仅由外表面总电荷决定，与q在腔内位置无关——体现“屏蔽”的单向性

物理本质

该现象源于导体的静电平衡条件（E内部=0）与唯一性定理：给定边界电势与电荷分布，场唯一确定。外表面等势→电荷均匀分布→外部场如点电荷场。