连续性判定的三重标准

青海师范大学考研数学分析真题常设陷阱于分段函数连续性判断，如2020年：

设f(x) = { x²sin(1/x), x≠0; 0, x=0 }，讨论f(x)在x=0处的连续性与可导性

易错点：学生常直接代入x=0得0，忽略极限存在性
正解：lim_x→0 x²sin(1/x) = 0（有界量×无穷小），故f(x)在0处连续

致连续性判别

年证明题：证明f(x)=x²在[0,+∞)上不一致连续，但在[0,1]上一致连续

关键技巧：
• 用定义反证：取ε₀=1，对任意δ>0，令xₙ=n+δ/2, yₙ=n
则|xₙ–yₙ|=δ/2<δ，但|f(xₙ)–f(yₙ)|=|2n·δ/2 + (δ/2)²|=|nδ + δ²/4|>1（当n>1/δ）
• 用Heine定理：在紧集上连续⇒一致连续，故[0,1]上一致连续

中值定理综合应用

青海师范大学考研数学分析真题每年至少1道中值定理证明题，如2023年：

设f(x)在[0,1]可导，f(0)=0，f(1)=1，证明存在ξ∈(0,1)，使f'(ξ)=2ξ

构造辅助函数法：
令F(x)=f(x)–x²，则F(0)=0，F(1)=1–1=0
由Rolle定理，存在ξ∈(0,1)，使F'(ξ)=0 ⇒ f'(ξ)–2ξ=0

泰勒展开的精准应用

年计算题：求lim_x→0 (eˣ – 1 – x – x²/2) / sin⁴x

易错处理：分母sin⁴x ~ x⁴，分子需展开至x⁴项：
eˣ = 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24 + o(x⁴)
分子 = x³/6 + x⁴/24 + o(x⁴) = x³(1/6 + x/24) + o(x⁴)
故极限 = [x³/6 + x⁴/24] / x⁴ = (1/6)/x + 1/24 → 发散？
修正：分母应为sin⁴x = x⁴ – x⁶/2 + o(x⁶)，但分子主部为x³/6，故极限为∞
真题答案为∞，考查考生对主部阶数的敏感度

不定积分的换元与分部积分

年计算题：∫ x arctan√x dx

解法：令t=√x ⇒ x=t², dx=2t dt
原式 = ∫ t² arctan t · 2t dt = 2∫ t³ arctan t dt
分部积分：u=arctan t, dv=2t³ dt
⇒ du=dt/(1+t²), v=t⁴/2
= t⁴ arctan t – ∫ t⁴/(1+t²) dt = t⁴ arctan t – ∫(t² – 1 + 1/(1+t²)) dt
= t⁴ arctan t – t³/3 + t – arctan t + C
代回t=√x得：x² arctan√x – (2/3)x^(3/2) + 2√x – 2 arctan√x + C

反常积分收敛性判别

年选择题：判别∫₁^∞ dx / [x(lnx)^p] 的收敛性

标准方法：令u=lnx ⇒ du=dx/x
积分变为∫₀^∞ du / u^p，当p>1时收敛，p≤1发散

真题陷阱：选项设置混淆p的范围，需严格区分

正项级数判别法对比

青海师范大学考研数学分析真题常考判别法适用条件，如2021年：

级数∑ 1/[n(lnn)(lnlnn)^p] (n≥3) 的收敛性

积分判别法：考虑∫₃^∞ dx / [x(lnx)(lnlnx)^p]
令u=lnlnx ⇒ du = dx/[x lnx]
积分变为∫_{lnln3}^∞ du / u^p ⇒ p>1时收敛

幂级数展开与收敛域

年证明题：求f(x)=ln(1+x)/(1–x)的麦克劳林级数

技巧：ln(1+x)=∑_{n=1}^∞ (–1)^{n+1}xⁿ/n (|x|<1)
1/(1–x)=∑_{n=0}^∞ xⁿ (|x|<1)
乘积展开得：f(x)=∑_{n=1}^∞ [∑_{k=1}^n (–1)^{k+1}/k] xⁿ
收敛域为(–1,1)，端点x=1时发散（通项~Hₙ→∞），x=–1时交错但不趋于0