信号与系统考研题库200（信号系统考研题库200）｜全网权威备考资源平台

【线性系统判定】：需同时满足可加性与齐次性。即T[ax₁(t)+bx₂(t)]=aT[x₁(t)]+bT[x₂(t)]。注意：y(t)=x(t)+1为非线性系统（缺少齐次性）；y(t)=x²(t)为非线性（缺少可加性）。2023年清华真题：判断y(t)=∫_-∞^tx(τ)dτ是否线性？答案：是（积分算子满足线性）。

【时不变性判定】：系统输入延迟k，输出也延迟k，则为时不变。数学表达：若y(t)=T[x(t)]，则T[x(t-t₀)]=y(t-t₀)。关键反例：y(t)=x(2t)为时变系统（压缩导致延迟不等效）；y[n]=nx[n]为时变（系数含n）。

【因果性判定】：输出仅取决于当前及过去输入。LTI系统因果 ⇔ h(t)=0 (t<0) 或 h[n]=0 (n<0)。2022年浙大真题：h(t)=e^tu(t+1)是否因果？解：h(t)在t<-1非零→非因果。

【稳定性判定】：BIBO稳定 ⇔ ∫|h(t)|dt < ∞（连续）或 ∑|h[n]| < ∞（离散）。典型稳定系统：RC电路；不稳定系统：理想积分器h(t)=u(t)（积分发散）。

例1（2021·电子科技大学·判断题）：系统y[n]=x[n]·x[n-1]是线性、时不变、因果、稳定的。（√/×）
【答案】×
解析：非线性（乘法运算破坏叠加性）；时变（乘以x[n]破坏时不变性）；因果（仅依赖当前/过去输入）；不稳定（如x[n]=1则y[n]=1；但x[n]=(-1)ⁿ时y[n]=(-1)²ⁿ=1有界，需更谨慎分析——实际该系统对有界输入输出有界，故BIBO稳定。本题关键在前两项判断。

例2（2023·上海交通大学·简答题）：已知系统h(t)=e^-2tu(t)，判断其线性、时不变性、因果性、稳定性。
【参考答案】：线性（卷积系统必线性）；时不变（h(t)仅与t相关）；因果（h(t)=0 for t<0）；稳定（∫₀^∞e^-2tdt=1/2<∞）。

⚠️【陷阱1】：y(t)=x(t)cos(t)是否时不变？
解：cos(t)显含t→时变。即使输入延迟，cos(t)不变，输出不会等效延迟。

⚠️【陷阱2】：离散系统y[n]=x[n]+x[n+1]是否因果？
解：依赖未来输入x[n+1]→非因果。考研中高频设误点：将“当前输出”等同于“仅当前输入”，忽略未来输入依赖。

【卷积积分/和】：y(t)=x(t)h(t)=∫x(τ)h(t-τ)dτ。物理意义：输入信号与系统冲激响应的“加权叠加”。计算步骤：1) 变量替换→2) 反折→3) 平移→4) 相乘→5) 积分。注意分段讨论，尤其当信号含阶跃函数时。

【零输入响应 vs 零状态响应】：零输入响应由初始状态产生（输入为0），零状态响应由输入产生（初始状态为0）。全响应=零输入+零状态。LTI系统中，零状态响应可通过卷积计算。

【微分方程求解】：齐次解+特解。齐次解形式由特征方程根决定：实根→e^λt；复根→e^αtcos(βt)；重根→t^ke^λt。特解根据输入信号形式假设（如输入为多项式→特解为同阶多项式）。

【采样定理】：无混叠采样条件f_s≥2f_m（奈奎斯特率）。混叠现象：高频信号被误判为低频。2022年北航真题：x(t)=cos(800πt)以f_s=600Hz采样，求离散信号频率。

例1（2021·清华大学·计算题）：已知x(t)=u(t)-u(t-2)，h(t)=e^-tu(t)，求y(t)=x(t)h(t)。
【解析】：分三段讨论：
• t<0：y(t)=0
• 0≤t<2：y(t)=∫₀^te^-(t-τ)dτ=1-e^-t
• t≥2：y(t)=∫₀²e^-(t-τ)dτ=e^-t(e²-1)
关键点：利用阶跃函数确定积分上下限，避免漏解。

例2（2023·浙江大学·计算题）：差分方程y[n]-0.5y[n-1]=x[n]，x[n]=(0.8)ⁿu[n]，y[-1]=2，求全响应。
【解析】：
• 零输入解：齐次方程特征根r=0.5，y_zi[n]=A(0.5)ⁿ，由y[-1]=2得A=1，故y_zi[n]=(0.5)ⁿ
• 零状态解：设特解y_zs[n]=B(0.8)ⁿ，代入得B=2.5，故y_zs[n]=2.5(0.8)ⁿ
• 全响应：y[n]=0.5ⁿ+2.5×0.8ⁿ
易错点：零输入解需用初始条件反推，不能直接代入n≥0计算。

⚠️【陷阱1】：卷积时是否考虑阶跃函数？
解：若h(t)含u(t)，则积分下限应从0开始而非-∞。例如h(t)=e^-tu(t)，积分限为[max(0,t-2), min(t,2)]（当0≤t<2时）。

⚠️【陷阱2】：差分方程初始条件位置？
解：y[-1]对应n=-1，求零输入解时需从n=-1开始递推，而非n=0。

【傅里叶变换性质】：线性、时移、频移、尺度变换、微分、积分、帕塞瓦尔定理。特别注意：时移导致相位线性变化，尺度变换影响带宽。2023年复旦真题：求x(t)=cos(ω₀t)u(t)的FT。

【拉普拉斯变换】：单边拉氏变换X(s)=∫_0-^∞x(t)e^-stdt。关键性质：微分性质（L{dx/dt}=sX(s)-x(0-)），用于解微分方程。收敛域（ROC）决定因果性/稳定性：因果系统ROC为右平面，稳定系统ROC含jω轴。

【系统函数H(s)】：H(s)=Y(s)/X(s)，由微分方程拉氏变换得到。极点决定系统特性：极点在左半平面→稳定；右半平面→不稳定；虚轴→临界稳定。

【部分分式展开】：用于逆变换计算。单实极点→A/(s-p)；重极点→A₁/(s-p)+A₂/(s-p)²+...；共轭复极点→(Bs+C)/(s²+as+b)。

例1（2021·上海交通大学·计算题）：求x(t)=e^-2tu(t)的拉氏变换及ROC。
【解析】：X(s)=∫₀^∞e^-2te^-stdt=1/(s+2)，ROC：Re(s)>-2。注意：ROC由收敛性决定，与表达式形式无关。

例2（2022·哈尔滨工业大学·分析题）：已知H(s)=(s+1)/[(s+2)(s+3)]，判断系统因果性与稳定性。
【解析】：
• 极点：s=-2, s=-3（均在左半平面）→若ROC为Re(s)>-2，则系统因果且稳定；
• 若ROC为-3 • 因所有极点在左半平面，存在含jω轴的ROC→系统BIBO稳定。
标准答案：当ROC为Re(s)>-2时，因果且稳定。

⚠️【陷阱1】：拉氏变换是否含u(t)？
解：单边拉氏变换默认信号从t=0开始，隐含u(t)因子。如e^-2t的拉氏变换即指e^-2tu(t)的变换。

⚠️【陷阱2】：部分分式展开时分子次数？
解：若X(s)为假分式（分子次数≥分母），需先多项式除法化为真分式+多项式。

【Z变换定义】：X(z)=∑_n=-∞^∞x[n]z^-n。常用变换对：u(n)↔z/(z-1)，aⁿu(n)↔z/(z-a)。

【ROC特性】：有限长序列→全z平面（除0/∞）；右边序列→|z|>R_min；左边序列→|z|max；双边序列→环形区域。ROC不包含极点。

【系统函数H(z)】：H(z)=Y(z)/X(z)，极点位置决定稳定性：单位圆内稳定（所有极点|z|<1）。因果系统ROC为|z|>R。

【逆Z变换】：部分分式展开+查表法。注意：ROC决定展开形式（因果/反因果）。

例1（2023·北京航空航天大学·计算题）：求x[n]=(0.5)ⁿu[n]+2ⁿu[-n-1]的Z变换及ROC。
【解析】：
• 第一项：0.5ⁿu[n] ↔ z/(z-0.5)，ROC: |z|>0.5
• 第二项：2ⁿu[-n-1] ↔ -z/(z-2)，ROC: |z|<2
• 总ROC：0.5<|z|<2
关键点：左边序列ROC为圆内，注意符号。

例2（2021·南京理工大学·分析题）：H(z)=(z+1)/[(z-0.5)(z-2)]，若系统稳定，求h[n]。
【解析】：
• 稳定⇒ROC含单位圆⇒ROC: 0.5<|z|<2
• 部分分式：H(z)=2/(z-0.5)
- 1/(z-2) = 2z^-1/(1-0.5z^-1)
- z^-1/(1-2z^-1)
• 因ROC为环形，第一项因果（|z|>0.5），第二项反因果（|z|<2）：
h[n]=2(0.5)^n-1u[n-1]
- 2^n-1u[-n]
易错点：未根据ROC确定展开形式，导致因果性错误。

⚠️【陷阱1】：u[-n-1]的Z变换？
解：u[-n-1] = 1 (n≤-1)，其Z变换为 -z/(z-1)，ROC: |z|<1。注意与u[n]的区别。

⚠️【陷阱2】：极点在单位圆上是否稳定？
解：不稳定！如H(z)=z/(z-1)对应阶跃响应发散。稳定要求所有极点严格在单位圆内。

【信号流图→系统函数】：梅森增益公式：T=∑(P_kΔ_k)/Δ，其中Δ=1-∑L_i+∑L_iL_j-...，Δ_k为去除与第k条前向通路接触的环路后的Δ。

【系统框图识别】：串联→H(s)=H₁(s)H₂(s)；并联→H(s)=H₁(s)+H₂(s)；反馈→H(s)=G/(1±GH)。

【频率响应分析】：H(jω)=|H(jω)|e^j∠H(jω)，|H|为幅频特性，∠H为相频特性。线性相位系统满足∠H(ω)=-ωt₀+φ₀。

【综合题解题步骤】：
1. 明确已知条件与待求量；
2. 选择分析域（时域/频域）；
3. 建立数学模型（微分/差分方程）；
4. 求解并验证物理合理性。

例（2022·电子科技大学·综合题）：系统框图：x(t)→[∑]→[1/s]→[e^-t]→y(t)，反馈支路为[2]→[∑]。
(1) 求系统函数H(s)；
(2) 若x(t)=e^-3tu(t)，求y(t)。
【解析】：
• 设加法器输出为v(t)，则：v(t)=x(t)-2y(t)，y(t)=∫e^-tv(t)dt
• 拉氏域：V(s)=X(s)-2Y(s)，Y(s)=1/(s+1)·V(s)⇒V(s)=(s+1)Y(s)
• 代入得：(s+1)Y(s)=X(s)-2Y(s)⇒Y(s)[s+3]=X(s)⇒H(s)=1/(s+3)
• Y(s)=H(s)X(s)=1/[(s+3)(s+3)]=1/(s+3)²⇒y(t)=te^-3tu(t)
技巧：反馈系统优先用拉氏域分析，避免时域微分方程。