权威解析《信号与系统考研真题及答案》
夯实核心知识，突破考研瓶颈

Z变换核心考点与典型例题

1. 常用变换对：δ[n]↔1；u[n]↔z/(z−1)；aⁿu[n]↔z/(z−a)；n aⁿu[n]↔az/(z−a)²。

2. 关键性质：线性性、时移性（x[n−k]u[n−k]↔z^−kX(z)）、Z域微分（−n x[n]↔z dX/dz）、初值定理（x[0]=lim_z→∞X(z)）、终值定理（x[∞]=lim_z→1(z−1)X(z)，要求极点在单位圆内或z=1为单极点）。

3. 典型真题示例（2020年某211高校）：已知X(z)=z/(z−0.5)²，|z|>0.5，求x[n]。解析：X(z)/z=1/(z−0.5)²，查表得x[n]=(n+1)(0.5)ⁿu[n]，或利用Z域微分性质：n(0.5)ⁿu[n]↔0.5z/(z−0.5)²，故x[n]=(n+1)(0.5)ⁿu[n]。

傅里叶变换核心考点与典型例题

1. 常用变换对：δ(t)↔1；1↔2πδ(f)；e^jω₀t↔2πδ(ω−ω₀)；rect(t/τ)↔τSa(ωτ/2)；e^−a|t↔2a/(a²+ω²)。

2. 关键性质：线性性、时移性（x(t−t₀)↔X(ω)e^−jωt₀）、频移性（x(t)e^jω₀t↔X(ω−ω₀)）、卷积定理（x(t)h(t)↔X(ω)H(ω)）、帕塞瓦尔定理（∫|x(t)|²dt = (1/2π)∫|X(ω)|²dω）。

3. 典型真题示例（2022年某重点院校）：求x(t)=cos(ω₀t)的傅里叶变换。解析：cos(ω₀t)=[e^jω₀t+e^−jω₀t]/2，利用频移性得X(ω)=π[δ(ω−ω₀)+δ(ω+ω₀)]。该结果表明余弦信号频谱为两个共轭冲激，是调制理论基础。

年Z域分析题（12分）

题目：离散系统H(z)=z²/(z−0.5)(z−2)，输入x[n]=(0.5)ⁿu[n]，求稳态响应y_ss[n]。

解析：

Step 1：X(z)=z/(z−0.5)，|z|>0.5

Step 2：Y(z)=H(z)X(z) = [z²/(z−0.5)(z−2)] × [z/(z−0.5)] = z³/[(z−0.5)²(z−2)]

Step 3：部分分式展开Y(z)/z = z²/[(z−0.5)²(z−2)] = A/(z−0.5) + B/(z−0.5)² + C/(z−2)

解得：A=−2/9, B=4/9, C=8/9

故Y(z) = −2z/[9(z−0.5)] + 4z/[9(z−0.5)²] + 8z/[9(z−2)]

Step 4：反Z变换（注意ROC）：

输入x[n]=(0.5)ⁿu[n]为稳定输入，系统H(z)极点z=0.5（单位圆内）、z=2（单位圆外）→系统不稳定。但稳态响应仅考虑输入极点对应的分量（z=0.5处），即前两项：

y_ss[n] = [−2/9 × (0.5)ⁿ + 4/9 × n(0.5)ⁿ] u[n] = (4n−2)/9 × (0.5)ⁿ u[n]

易错点：z=2项对应瞬态响应（因系统不稳定，该项不衰减，但稳态响应定义要求输入决定的部分，故忽略系统不稳定极点贡献）。

年频谱分析题（10分）

题目：周期信号x(t)在一个周期内为x(t)=t, −π

解析：

周期T=2π，ω₀=2π/T=1

直流分量：a₀ = (2/π) ∫₀^π t dt = (2/π)(π²/2) = π

余弦系数：aₙ = (2/π) ∫₀^π t cos(nt) dt = (2/π)[(t sinn t)/n + cosn t/n²]₀^π = (2/π)(cosnπ − 1)/n² = {0, n偶；−4/(πn²), n奇}

正弦系数：bₙ = (2/π) ∫₀^π t sinn t dt = (2/π)[−t cosn t/n + sinn t/n²]₀^π = (2/π)(−π cosnπ/n) = 2(−1)ⁿ⁺¹/n

频谱特性：

• 幅度谱|cₙ| = √(aₙ²+bₙ²)/2，n≠0；|c₀|=a₀/2=π/2
• 相位谱φₙ = arctan(−bₙ/aₙ)
• 偶谐性：因x(t)为奇函数（修正：x(t)=t在−π到π非奇非偶，但x(t+π)=−x(t−π)为半波对称），实际计算得aₙ仅奇次非零，bₙ全次非零

作图要点：幅度谱在n=0处为π/2，n=±1,±3,...处有峰值，随n衰减；相位谱在n奇时为−π/2，n偶时为0。