信号的时域表示（如单位阶跃、冲激函数）、频域分析（傅里叶级数、傅里叶变换）、频谱特性（幅度谱、相位谱）、带宽计算、采样定理等，是考研必考内容。例题常涉及周期信号分解、非周期信号频谱绘制，要求熟练掌握变换对及性质。
拉普拉斯变换的定义、收敛域、性质（线性、时移、频移、微分、积分）、部分分式展开、逆变换求解。系统函数H(s)的求解、零极点图绘制、系统响应（零输入/零状态/全响应）分类计算。注意：收敛域决定系统因果性与稳定性。
Z变换定义、收敛域、性质（与拉氏变换类比）、逆Z变换（幂级数展开、部分分式）。差分方程求解、系统函数H(z)、单位圆上Z变换即DTFT。判断离散系统因果性（h(n)=0,n<0）、稳定性（极点在单位圆内）是高频考点。
线性性（叠加性）、时不变性、因果性、稳定性（BIBO准则）、记忆性、可逆性。判断方法：线性看是否满足叠加；时不变看参数是否显含t；因果看输出是否仅依赖当前/过去输入；稳定性看冲激响应是否绝对可积/可和。
频域分析法求系统响应（Y(jω)=H(jω)X(jω)）、滤波器设计（低通、高通、带通）、调制与解调（AM、DSB）、采样与重建。重点掌握帕塞瓦尔定理、系统频率响应物理意义、理想滤波器不可实现性。
跨章节综合题（如：已知差分方程→求H(z)→判断稳定性→求单位圆上频率响应→分析滤波特性），或结合实际系统（RLC电路、机械系统）建模分析。此类题分值高，需多练习提升建模与综合分析能力。
已知信号 x(t) = e−2tu(t) + e−3tu(t)，求其傅里叶变换X(jω)，并画出幅度谱 |X(jω)| 的大致形状。
解析：本题为两个单边指数衰减信号之和。利用傅里叶变换基本对：e−atu(t) ↔ 1/(a + jω)（a>0），可得：
X(jω) = 1/(2 + jω) + 1/(3 + jω)
通分后：X(jω) = (5 + jω) / [(2 + jω)(3 + jω)]
幅度谱 |X(jω)| = √(25 + ω²) / √[(4 + ω²)(9 + ω²)]
关键点：① 注意u(t)不可省略，否则信号非因果，变换不同；② 幅度谱为偶函数，ω=0时取最大值 |X(0)| = 5/(2×3)=5/6；③ ω→∞时，|X(jω)| ~ |ω|/|ω|² = 1/|ω| → 0，呈高频衰减特性；④ 无零点，极点在ω=±2j, ±3j处，幅度谱在ω=0处光滑下降，无谐振峰。
易错提醒：部分考生误将e−2|t|与e−2tu(t)混淆，后者仅定义于t≥0；另一常见错误是忘记幅度谱为实偶函数，错误绘制负频率部分。
已知因果LTI系统由微分方程 y''(t) + 4y'(t) + 5y(t) = x'(t) + 2x(t) 描述，求系统函数H(s)，判断系统是否BIBO稳定。
解析：对微分方程两边取拉普拉斯变换（设零初始状态）：
s²Y(s) + 4sY(s) + 5Y(s) = sX(s) + 2X(s)
⇒ H(s) = Y(s)/X(s) = (s + 2)/(s² + 4s + 5)
分母因式分解：s² + 4s + 5 = (s + 2)² + 1，极点为 s = −2 ± j
稳定性判断：系统为因果系统，其极点为复数对，实部均为 −2 < 0，全部位于s左半平面，故系统BIBO稳定。
延伸分析：系统冲激响应 h(t) = L⁻¹{H(s)} = e−2t[cos t + 4sin t]u(t)，因e−2t指数衰减，故∫|h(t)|dt收敛，进一步验证稳定性。
高频陷阱：若题目未说明“因果”，则需额外考虑收敛域。但本题明确“因果LTI系统”，故极点左半平面即保证稳定。
已知离散系统：y(n) − 0.5y(n−1) = x(n) + 2x(n−1)，初始条件 y(−1) = 2，输入 x(n) = (0.2)nu(n)，求全响应 y(n)。
解析：对差分方程两边取单边Z变换（注意y(n−1)的变换含初始条件）：
Y(z) − 0.5[z−1Y(z) + y(−1)] = X(z) + 2z−1X(z)
代入 y(−1)=2，X(z) = 1/(1−0.2z−1) = z/(z−0.2)
整理得：
Y(z)[1 − 0.5z−1] = X(z)(1 + 2z−1) + 1
⇒ Y(z) = [ (z+2)/(z−0.2) × z/(z−0.2) + 1 ] / (1 − 0.5z−1)
化简后（过程略）得：
Y(z) = [z² + 3z − 0.04] / [(z−0.2)²(z−0.5)]
部分分式展开：
Y(z)/z = A/(z−0.2) + B/(z−0.2)² + C/(z−0.5)
解得：A = −12.04, B = 8, C = 5.04
⇒ Y(z) = −12.04z/(z−0.2) + 8z/(z−0.2)² + 5.04z/(z−0.5)
查Z变换表：
L⁻¹{z/(z−a)} = anu(n)，L⁻¹{az/(z−a)²} = nanu(n)
故 y(n) = [−12.04×(0.2)n + 8n×(0.2)n + 5.04×(0.5)n] u(n)
关键步骤：① 单边Z变换必须计入初始条件；② 分子次数不高于分母，否则需先多项式除法；③ 注意(z−0.2)²项对应n·aⁿ形式。
设基带信号 m(t) = cos(2π·1000t)，载波 c(t) = cos(2π·10⁶t)，进行AM调制，求已调信号 s(t) 的表达式、频谱 S(jω)，并计算所需最小带宽。
解析：AM调制：s(t) = [A₀ + m(t)]·c(t)，通常取A₀ = 1（归一化），则：
s(t) = [1 + cos(2000πt)] · cos(2π×10⁶t)
展开：s(t) = cos(2π×10⁶t) + ½cos[2π(10⁶−10³)t] + ½cos[2π(10⁶+10³)t]
频谱 S(jω) 由三冲激组成：ω = ±2π×10⁶（载波）、±2π(10⁶−10³)、±2π(10⁶+10³)（上下边带）
幅度：载波处为 π，边带处各为 π/2
带宽计算：最高频率分量 fmax = 10⁶ + 10³ = 1001 kHz，最低 fmin = 10⁶ − 10³ = 999 kHz，故带宽 B = fmax − fmin = 2 kHz
对比DSB：若为DSB-SC（抑制载波），则无载波分量，但带宽仍为2 kHz；AM因含载波，功率效率低但解调简单（包络检波）。
1. 变换定义与适用对象
2. 关键性质类比
| 性质 | FT | LT | ZT |
|---|---|---|---|
| 线性性 | X₁+X₂ ↔ x₁+x₂ | 同左 | 同左 |
| 时移 | x(t−t₀) ↔ e−jωt₀X(jω) | x(t−t₀)u(t−t₀) ↔ e−st₀X(s) | x(n−k)u(n−k) ↔ z−kX(z) |
| 频域微分 | (−jt)ⁿx(t) ↔ dⁿX/dωⁿ | (−t)ⁿx(t) ↔ dⁿX/dsⁿ | (−n)ⁿx(n) ↔ dz/dz X(z) |
| 卷积定理 | x∗h ↔ X·H | 同左 | x(n)∗h(n) ↔ X(z)·H(z) |
3. 收敛域（ROC）核心差异
记忆口诀：“FT看频轴，LT竖带宽，ZT圆环定因果；FT无ROC，LT看σ带，ZT看|z|环”。
1. 因果性（Causality）
2. 稳定性（BIBO）
3. 线性性（Linearity）
易混案例：y(n) = x(n) + x(n−1) + 5 → 非线性（有常数项，不满足齐次性）；y(t) = dx/dt + x(t) → 线性时变（含t系数时变，但线性）。
1. 四类理想滤波器频响
| 类型 | 频响 H(jω) | 冲激响应 h(t) | 物理可实现性 |
|---|---|---|---|
| 理想低通（LPF） | 1, |ω|<ωc 0, 其他 | (ωc/π)·sinc(ωct/π) | 不可实现（h(t)非因果） |
| 理想高通（HPF） | 0, |ω|<ωc 1, 其他 | δ(t) − LPF的h(t) | 不可实现 |
| 理想带通（BPF） | 1, ω₁<|ω|<ω₂ 0, 其他 | 带通sinc函数 | 不可实现 |
| 理想带阻（BRF） | 0, ω₁<|ω|<ω₂ 1, 其他 | δ(t) − BPF的h(t) | 不可实现 |
2. 实际滤波器设计方法
3. 数字滤波器设计流程
确定指标（通带截止ωp、阻带截止ωs、通带纹波δ1、阻带衰减δ2）；
选择类型（ Butterworth/Chebyshev/Elliptic）；
求阶数N与系数（如用双线性变换s = (2/T)·(1−z−1)/(1+z−1)）；
实现（直接I/II型、级联、并联结构）。
设计注意：双线性变换存在频率畸变（ω = (2/T)tan(ΩT/2)），需预畸变校正。
避坑口诀：“初始条件看时刻，ROC不写全错；双边信号别单变，存在性先验；极点在界上，稳定性打问号；卷积上下限，画图最保险”。
目标：完成三变换（FT/LT/ZT）原理理解与基本计算训练。
目标：攻克四大核心模块（频域分析、系统函数、离散系统、综合应用）。
目标：通过近10年真题模拟，查漏补缺，形成解题套路。
目标：稳定心态，固化解题流程，查漏补缺。