不定积分考研真题｜系统解析·高频考点·解题模板·避坑指南

【热点2】换元积分法：第一换元与第二换元的辨析

第一换元法（凑微分）：适用于被积函数可拆为“内函数的导数×外函数”的形式。

第二换元法（变量代换）：用于处理根式、无理式、三角有理式等。

典型真题：∫x³√(1+x²)dx

解法一（第一换元）：令u=1+x²→x²=u-1，x³dx=x²·xdx=(u-1)·(1/2)du

→(1/2)∫(u-1)√u du=(1/2)∫(u^{3/2}-u^{1/2})du=(1/5)(1+x²)^{5/2}-(1/3)(1+x²)^{3/2}+C

解法二（第二换元）：令x=sint（不推荐，复杂度高）

【易错点】考生常将x³dx误作(1/4)d(x⁴)，导致无法匹配根式结构；或忘记换元后需回代。

【热点3】分部积分法：表格法与循环型积分

∫e^x·cosx dx是经典循环型积分：

设I=∫e^x cosx dx，分部得I=e^x sinx
- ∫e^x sinx dx

再分部：∫e^x sinx dx = -e^x cosx + ∫e^x cosx dx = -e^x cosx + I

代入得I=e^x sinx
- (-e^x cosx + I) → I = e^x(sinx + cosx)
- I

→ 2I = e^x(sinx + cosx) → I = (1/2)e^x(sinx + cosx) + C

2021年数学三第12题：∫x²e^{-x}dx，使用表格法可快速列出：

　x²　　e^{-x}

x　　-e^{-x}

e^{-x}

-e^{-x}

→ 结果 = -x²e^{-x}
- 2xe^{-x}
- 2e^{-x} + C

【高频失误】符号错误（尤其负号累积）、漏写常数C、未注意多项式次数与指数函数的匹配性。

【热点4】三角函数积分：幂次降维与积化和差

核心策略：奇余偶正，奇正偶余

∫sin³x cos²x dx：sin³x为奇次，拆出一个sinx，余下用cosx表示

= ∫(1-cos²x)cos²x·(-d(cosx)) = -∫(cos²x
- cos⁴x) d(cosx)

= -(cos³x/3
- cos⁵x/5) + C = cos⁵x/5
- cos³x/3 + C

2020年数学二第9题：∫tan⁴x dx

利用tan²x = sec²x
- 1降次：

∫tan⁴x dx = ∫tan²x(sec²x
- 1)dx = ∫tan²x sec²x dx
- ∫tan²x dx

= tan³x/3
- ∫(sec²x
- 1)dx = tan³x/3
- tanx + x + C

【注意】∫secx dx = ln|secx + tanx| + C，∫cscx dx = ln|cscx
- cotx| + C为必记公式。

【热点5】有理函数积分：部分分式分解技巧

核心原则：真分式→部分分式→逐项积分

∫dx/[(x-1)(x²+1)]

设1/[(x-1)(x²+1)] = A/(x-1) + (Bx+C)/(x²+1)

通分得：1 = A(x²+1) + (Bx+C)(x-1)

令x=1：1 = A(2) → A=1/2

比较系数：x²项：A + B = 0 → B = -1/2

常数项：A
- C = 1 → C = A
- 1 = -1/2

→ 原式 = (1/2)∫dx/(x-1)
- (1/2)∫(x+1)/(x²+1) dx

= (1/2)ln|x-1|
- (1/4)ln(x²+1)
- (1/2)arctanx + C

2019年数学一第15题：∫(2x²+3x+1)/[(x+1)²(x²+1)] dx

分解形式：A/(x+1) + B/(x+1)² + (Cx+D)/(x²+1)

解得A=1, B=1, C=-1, D=0 → 积分结果为ln|x+1| + 1/(x+1)
- (1/2)ln(x²+1) + C

【易错点】重复因式漏写高次项；虚根对应分子未设为一次式；计算系数时未充分赋值。