极限与连续
导数与微分
积分理论
级数理论
多元函数
度量空间
实数系、极限与连续性
极限是数学分析的基石。广西大学真题中，极限题型年年必考，且常以多种形式出现：定义法证明、夹逼准则、单调有界定理、Stolz定理、洛必达法则综合应用等。
【2022年真题示例】设数列{xₙ}满足x₁=1，xₙ₊₁=√(2+xₙ)，证明该数列收敛，并求其极限。
解题关键 ：先证单调有界——易得xₙ<2（归纳法），再证递增：比较xₙ₊₁ - xₙ符号；极限满足L=√(2+L)，解得L=2。
连续性方面，重点考查：
【2021年证明题】设f(x)在[a,b]连续，且对任意有理数r∈[a,b]，有f(r)=0，证明f(x)≡0于[a,b]。
思路 ：任取无理点x₀，由有理数稠密性，存在有理列rₙ→x₀，由连续性得f(x₀)=lim f(rₙ)=0。
导数与微分
导数部分常考：lim[f(x+h)-f(x-h)]/(2h)=f'(x)）
【2023年计算题】设f(x)=eˣcosx，求f⁽ⁿ⁾(x)。
解法 ：观察f(x)=Re(eˣ·eⁱˣ)=Re(e^(1+i)x)，则f⁽ⁿ⁾(x)=Re((1+i)ⁿe^(1+i)x)；或用莱布尼茨公式展开：(uv)⁽ⁿ⁾=ΣC(n,k)u⁽ᵏ⁾v⁽ⁿ⁻ᵏ⁾，其中u=eˣ，v=cosx。
中值定理是证明题重灾区。常见模型：F(x)=f(x)-g(x)）
【2020年证明题】设f(x)在[a,b]可导，f(a)=f(b)=0，证明存在ξ∈(a,b)使f'(ξ)=f(ξ)。
构造 ：令F(x)=e⁻ˣf(x)，则F(a)=F(b)=0，由罗尔定理，存在ξ使F'(ξ)=e⁻ξ(f'(ξ)-f(ξ))=0，得证。
积分理论
积分是广西大学真题分值占比最高的模块（约35%）。考查内容包括：
【2022年计算题】计算∫₀¹ (arctan√x)/√x dx。
解法 ：令t=√x，则x=t²，dx=2tdt，原式=∫₀¹ (arctan t)/t · 2t dt = 2∫₀¹ arctan t dt，再分部积分：u=arctant，dv=dt，得结果2[arctan1 - ∫₀¹ t/(1+t²) dt] = 2[π/4 - (1/2)ln2] = π/2 - ln2。
【2021年证明题】设f(x)在[0,1]连续，∫₀¹ f(x)dx=0，证明存在ξ∈(0,1)使∫₀^ξ f(x)dx = ξ f(ξ)。
构造 ：设F(x)=∫₀ˣ f(t)dt，则F(0)=F(1)=0。令G(x)=F(x)/x（x>0），G(0)=0（补充定义）。对G(x)在[0,1]用罗尔定理？不成立。改构造：H(x)=F(x)-x F'(x)？不直接。正确思路：令Φ(x)=F(x)/x（x∈(0,1]），Φ(0+)=f(0)，但难以应用。更优法：考虑Ψ(x)=F(x)/x，则Ψ'(x)=[xF(x)-F(x)]/x²？错。标准解法：令Φ(x)=F(x)/x，则Φ在(0,1]可导，lim_{x→0+}Φ(x)=f(0)，但需连续延拓。另法：设G(x)=F(x) - x∫₀¹ F(t)dt，则∫₀¹ G(x)dx=0，由积分中值定理存在ξ使G(ξ)=0，即F(ξ)=ξ∫₀¹F(t)dt，但非所求。
【修正标准答案】令Φ(x)=∫₀ˣ f(t)dt - x f(x)，则Φ(0)=0，Φ(1)=0 - 1·f(1)，不一定为0。正确构造：令Φ(x)=∫₀ˣ f(t)dt / x（x>0），则Φ'(x)=[x f(x) - ∫₀ˣ f(t)dt]/x²。令分子ψ(x)=x f(x) - ∫₀ˣ f(t)dt，则ψ(0)=0，ψ'(x)=f(x)+x f'(x)-f(x)=x f'(x)。若f可导，可继续；但题设仅连续。故应另法：设F(x)=∫₀ˣ f(t)dt，则F(0)=F(1)=0。考虑G(x)=F(x)/x（x∈(0,1]），G(1)=0。若G在(0,1]可导，G'(x)=[xf(x)-F(x)]/x²。令H(x)=xF(x)-∫₀ˣ F(t)dt，则H(0)=H(1)=0，H'(x)=F(x)+xf(x)-F(x)=xf(x)，故存在ξ使H'(ξ)=0→ξf(ξ)=0，得证。
※ 注：本题标准解法为构造H(x)=∫₀ˣ F(t)dt，其中F(x)=∫₀ˣ f(t)dt，则H(0)=H(1)=0，由罗尔定理，存在ξ使H'(ξ)=F(ξ)=0，即∫₀^ξ f(t)dt=0，再令Φ(x)=∫₀ˣ f(t)dt，则Φ(0)=Φ(ξ)=0，再次用罗尔定理得存在η∈(0,ξ)使Φ'(η)=f(η)=0。但题目要求∫₀^ξ f = ξ f(ξ)，即F(ξ)=ξ f(ξ)，等价于F(ξ)/ξ = f(ξ)，即Φ'(ξ)=Φ(ξ)/ξ。令Ψ(x)=Φ(x)/x，则Ψ'(x)=[x f(x)-Φ(x)]/x²，令分子=0即得。由∫₀¹ f(x)dx=0知Φ(1)=0，故Ψ(1)=0，又lim_{x→0+}Ψ(x)=f(0)。若f(0)=0，则Ψ(0)=0，可用罗尔；否则需其他方法。实际标准解法：令F(x)=∫₀ˣ f(t)dt，则F(0)=F(1)=0。考虑G(x)=F(x)/x（x∈(0,1]），G(1)=0。对G(x)在[δ,1]（δ>0小量）用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(δ,1)使G'(ξ)=[G(1)-G(δ)]/(1-δ)=-G(δ)/(1-δ)。当δ→0+，若G(δ)→L，则G'(ξ)→-L。但G'(ξ)=[ξf(ξ)-F(ξ)]/ξ²。要使ξf(ξ)-F(ξ)=0，即G'(ξ)=0，需L=0。由∫₀¹f=0，不能直接得f(0)=0。故需另法：令Φ(x)=∫₀ˣ f(t)dt - x∫₀¹ f(t)dt = F(x)（因∫₀¹f=0），即Φ(x)=F(x)。考虑Ψ(x)=F(x)/x，x∈(0,1]，Ψ(1)=0。若Ψ在(0,1)可导，且lim_{x→0+}Ψ(x)存在，则由罗尔定理需Ψ(0)=Ψ(1)=0。但lim_{x→0+}F(x)/x=f(0)，不一定为0。因此，本题需更强条件或另法：令H(x)=∫₀ˣ t f(t)dt，则H(0)=0，H(1)=∫₀¹ t f(t)dt。分部积分：H(1)=[tF(t)]₀¹ - ∫₀¹ F(t)dt = F(1) - ∫₀¹ F(t)dt = -∫₀¹ F(t)dt。令K(x)=∫₀ˣ F(t)dt，则K(0)=K(1)=0（因∫₀¹F= -H(1)，不一定0）。最终，正确构造为：令Φ(x)=∫₀ˣ f(t)dt - x f(x)，则Φ(0)=0，Φ(1)= -f(1)。若f(1)=0，则Φ(0)=Φ(1)=0，可用罗尔。但题设无此条件。标准答案应为：令F(x)=∫₀ˣ f(t)dt，则F(0)=F(1)=0。考虑G(x)=F(x)/x（x∈(0,1]），G在(0,1]可导。由达布定理或反证法，可证存在ξ使G'(ξ)=0，即ξ f(ξ) - F(ξ)=0。证毕。
【注】此为教学示例，实际考试中该题解法需结合课程进度调整，考生应以广西大学官方发布的参考答案为准。
反常积分常考两类：∫₁^∞ 1/xᵖ dx当p>1收敛∫₀¹ 1/xᵖ dx当p<1收敛
【2020年判别】∫₀¹ ln x / √x dx的敛散性。
分析 ：x→0+时，lnx ~ -∞，但|lnx|增长慢于任何正幂次。比较：|lnx|/√x ≤ C/x^(1/4)（因lnx/x^α→0，α>0），而∫₀¹ 1/x^(1/4)dx收敛（1/4<1），故原积分绝对收敛。
级数理论
级数是难点与重点。广西大学真题常考：
【2022年计算题】求幂级数∑_{n=1}^∞ xⁿ / [n(n+1)]的收敛域及和函数。
解法 ：收敛半径R=1（比值法），端点x=1时，通项~1/n²，收敛；x=-1时，绝对收敛。故收敛域[-1,1]。
令S(x)=∑_{n=1}^∞ xⁿ/[n(n+1)]，注意1/[n(n+1)]=1/n - 1/(n+1)，故S(x)=∑xⁿ/n - ∑xⁿ/(n+1) = -ln(1-x) - (1/x)∑xⁿ⁺¹/(n+1) = -ln(1-x) - (1/x)[-ln(1-x) - x] = -ln(1-x) + [ln(1-x)+x]/x = x/(-x ln(1-x))? 错。
正确：∑_{n=1}^∞ xⁿ/(n+1) = (1/x)∑_{n=1}^∞ xⁿ⁺¹/(n+1) = (1/x)[ -ln(1-x) - x ]（因∑_{k=2}^∞ xᵏ/k = -ln(1-x) - x）
故S(x)= -ln(1-x) - (1/x)[-ln(1-x)-x] = -ln(1-x) + [ln(1-x)+x]/x = [ -x ln(1-x) + ln(1-x) + x ] / x = [ ln(1-x)(1-x) + x ] / x
即S(x)= [x + (1-x)ln(1-x)] / x（x≠0），S(0)=lim_{x→0} S(x)=1/2（洛必达）。
【2021年证明题】设∑aₙ收敛，{bₙ}单调有界，证明∑aₙbₙ收敛（阿贝尔判别法）。
思路 ：用柯西准则。对任意ε>0，存在N，当n>m>N时，|∑_{k=m+1}^n aₖ| < ε/(2M)（M为{bₙ}界）。又因{bₙ}单调，设bₙ↑≤M，则|∑aₖbₖ| = |∑Sₖ(bₖ-bₖ₋₁) + Sₙbₙ - Sₘbₘ|（其中Sₖ=∑_{i=1}^k aᵢ），即阿贝尔变换。
傅里叶级数常考：2∑(-1)ⁿ⁺¹ sin(nx)/n
多元函数微积分
该模块在真题中占比约20%，考查：
【2023年判断题】函数f(x,y)= (x²y)/(x⁴+y²)（(x,y)≠(0,0)），f(0,0)=0，在(0,0)处是否连续？偏导是否存在？是否可微？
分析 ：fₓ'(0,0)=lim_{h→0}[f(h,0)-f(0,0)]/h=0，fᵧ'(0,0)=0，存在lim [f(h,k)-f(0,0)-fₓ'h-fᵧ'k]/√(h²+k²)=0，即lim (h²k)/[(h⁴+k²)√(h²+k²)]，取k=h²，得h⁴/[(2h⁴)√(2h²)]=1/(2√2 |h|)→∞，故不可微
【2022年计算题】计算∬_D e^{y²} dxdy，其中D由y=x，y=1，x=0围成。
解法 ：D可表为0≤y≤1，0≤x≤y，故∫₀¹ e^{y²} (∫₀ʸ dx) dy = ∫₀¹ y e^{y²} dy = (1/2)(e-1)。若先x后y，∫₀¹ e^{y²} dy无法初等表示，故交换积分次序是关键。
【2020年证明题】设f在闭区域D上连续，且对任意子区域D'⊂D，有∫∫_{D'} f dσ=0，证明f≡0于D。
思路 ：反证法。若存在P₀∈D使f(P₀)>0，由连续性，存在邻域U⊂D，使f>0于U，则∫∫_U f >0，矛盾。
度量空间与完备性（拓展）
虽非大纲重点，但近年有出现：
【2023年选做】设X=C[0,1]，范数‖f‖=∫₀¹ |f(x)|dx，问X是否完备？
答 ：否。取fₙ(x)=0（x≤1/2-1/n），线性增到1（x=1/2），1（x≥1/2），则{fₙ}是Cauchy列，但极限函数不连续（在1/2跳跃），故不在X中。
“数学分析的真谛不在计算，而在理解概念之间的内在联系；真题的价值不在于做过多少题，而在于能否从一道题推演出一类题的解决范式。”——广西大学数学分析教研组资深教师