上海应用物理研究所考研例题权威解析｜真题精讲·备考指南

真题重现：粒子在一维无限深势阱（0＜x＜a）中，处于基态ψ₁(x)=√(2/a)sin(πx/a)，求位置期望值〈x〉与动量期望值〈p〉。

解题思路：

1. 〈x〉＝∫₀ᵃ ψ₁ x ψ₁ dx ＝ (2/a)∫₀ᵃ x sin²(πx/a) dx；
2. 利用对称性：势阱关于x＝a/2对称，基态波函数为偶函数，故〈x〉＝a/2；
3. 注意：〈p²〉≠0，可求能量E₁＝〈p²〉/(2m)。

易错点：误认为〈p〉＝0是因“粒子静止”，实为波函数实性导致概率流为零；积分时易忽略归一化因子，导致结果偏差。

真题重现：半径为R的均匀介质球（介电常数ε），置于均匀外电场E₀中（方向沿z轴），求球内、外电势及球表面束缚电荷分布。

解题步骤：

1. 设电势φ(r,θ)＝Σ(Aₙrⁿ＋Bₙr⁻ⁿ⁻¹)Pₙ(cosθ)，由对称性仅保留n＝1项；
2. 边界条件：r→∞时φ→-E₀r cosθ；r＝R处φ₁＝φ₂，ε∂φ₁/∂r＝∂φ₂/∂r；
3. 解得球内电场E_in＝[3ε₀/(ε＋2ε₀)]E₀（均匀场）；
4. 束缚电荷密度σ_b＝P·n＝(ε－ε₀)E_in cosθ。

拓展：当ε→∞（导体球），E_in＝0，σ_b＝3ε₀E₀cosθ，与经典结果一致。此题常与电介质边界条件综合考查，需熟练掌握拉普拉斯方程分离变量法。

真题重现：理想气体卡诺循环由等温T₁膨胀、绝热膨胀、等温T₂压缩、绝热压缩构成。证明其效率η＝1－T₂/T₁，并从统计物理角度解释为何只与温度有关。

解答要点：

1. 热机效率定义η＝W/Q₁＝(Q₁－Q₂)/Q₁＝1－Q₂/Q₁；
2. 等温过程Q＝TΔS，故Q₂/Q₁＝T₂/T₁，得η＝1－T₂/T₁；
3. 统计角度：熵S＝k_B lnΩ，等温过程ΔS＝Q/T ⇒ Q＝TΔS；
4. 绝热可逆过程ΔS＝0，故循环中净熵变为零；效率仅由热源温度决定，反映系统微观状态数变化率。

误区提醒：误认为“绝热过程Q＝0故ΔS＝0”，实际可逆绝热过程ΔS＝0，不可逆则ΔS＞0。此题常与第二定律结合出分析题。

真题重现：在一维周期势场V(x)＝V₀cos(2πx/a)中，用微扰论求布里渊区边界k＝±π/a处的能隙。

关键步骤：

1. 自由电子能量E₀＝ħ²k²/(2m)，在k＝π/a处二度简并；
2. 微扰矩阵元H₁₂＝〈k|V|k'〉＝(1/L)∫₀ᵃ e⁻ikx V₀cos(2πx/a) eik'xdx；
3. 令k＝π/a，k'＝－π/a，则cos(2πx/a)＝[e^(i2πx/a)＋e^(-i2πx/a)]/2，仅当指数为0时积分非零；
4. 得H₁₂＝V₀/2，能隙ΔE＝2|H₁₂|＝|V₀|。

延伸：能隙大小正比于傅里叶分量|V_G|（G为倒格矢），体现周期性势场对电子波的布拉格反射强度。此题是能带理论核心，务必掌握微扰法处理简并态。

真题重现：波长λ＝550nm的平行光垂直入射到直径D＝2mm的圆孔，求艾里斑角半径及100m远处光斑半径。若两光源角距为1.22λ/D，能否分辨？

标准解法：

1. 艾里斑角半径θ₁＝1.22λ/D＝1.22×550×10⁻⁹/(2×10⁻³)＝3.355×10⁻⁴ rad；
2. m处光斑半径r＝Lθ₁＝100×3.355×10⁻⁴＝0.03355m≈3.36cm；
3. 瑞利判据：当一光源艾里斑中心恰在另一光源第一极小处，视为恰好分辨；
4. 题设角距＝1.22λ/D，故能分辨（恰好满足）。

应用拓展：望远镜分辨率θ∝λ/D，故射电望远镜需极大口径（如FAST口径500m）；显微镜用油浸提高数值孔径NA，等效减小λ。此题常结合光学仪器考查。