核心考点：分块矩阵求逆
年第5题：设A= [ [2,1],[1,2] ]，求矩阵B = [ [A, I],[I, A] ] 的逆。
解法：利用分块矩阵求逆公式
若M = [ [P,Q],[R,S] ]，且P可逆，则
M⁻¹ = [ [P⁻¹ + P⁻¹QS⁻¹RP⁻¹, −P⁻¹QS⁻¹],
[−S⁻¹RP⁻¹, S⁻¹] ]
其中S = A − IA⁻¹I = A − A⁻¹
计算得A⁻¹ = (1/3)[[2,−1],[−1,2]]，S = [[4/3,2/3],[2/3,4/3]]
进一步求S⁻¹ = (3/4)[[2,−1],[−1,2]]
→ 最终B⁻¹ = [ [A⁻¹ + A⁻¹S⁻¹A⁻¹, −A⁻¹S⁻¹],
[−S⁻¹A⁻¹, S⁻¹] ]
技巧提示：若P=S, Q=R，则M可交换分块，此时B⁻¹ = [ [C,D],[D,C] ]形式更易计算。
核心考点：含参数方程组解的结构
年第10题：讨论λ取何值时，方程组
x₁ + x₂ + λx₃ = 4
−x₁ + λx₂ + x₃ = λ²
x₁ − x₂ + x₃ = 1
有唯一解、无解、无穷多解？并求通解。
解：构造增广矩阵并初等行变换
→ [ [1,1,λ | 4],
[0,λ+1,λ+1 | λ²+4],
[0,−2,1−λ | −3] ]
继续化简得第三行：[0,0, (λ−2)(λ+1) | λ²+λ−6]
• 当λ≠2且λ≠−1时，r(A)=r(A̅)=3 ⇒ 唯一解
• 当λ=2时，第三行[0,0,0 | 0] ⇒ r=2 < 3 ⇒ 无穷多解
此时通解 = 特解 + k·(−1,1,0)ᵀ
• 当λ=−1时，第三行[0,0,0 | −8] ⇒ r(A)=2 < r(A̅)=3 ⇒ 无解
核心考点：实对称矩阵的合同与相似
年第12题：设A = [[2,1,1],[1,2,1],[1,1,2]]，求正交矩阵Q，使QᵀAQ为对角阵。
步骤：
1. 特征值：|A−λI|=0 ⇒ (3−λ)²(λ−0)=0 ⇒ λ₁=λ₂=3, λ₃=0
2. 特征向量：
• λ=3：解(A−3I)x=0 ⇒ x₁+x₂+x₃=0，基础解系α₁=(1,−1,0)ᵀ, α₂=(1,0,−1)ᵀ
• λ=0：解Ax=0 ⇒ x₁=x₂=x₃，基础解系α₃=(1,1,1)ᵀ
3. 正交化：β₂=α₂ − (α₂,β₁)/(β₁,β₁)·β₁ = (1/2,1/2,−1)ᵀ
单位化：e₁=(1/√2,−1/√2,0)ᵀ, e₂=(1/√6,1/√6,−2/√6)ᵀ, e₃=(1/√3,1/√3,1/√3)ᵀ
4. Q = [e₁ e₂ e₃] = [[1/√2,1/√6,1/√3],[−1/√2,1/√6,1/√3],[0,−2/√6,1/√3]]
核心考点：线性变换的核与像空间
年第16题（抽象题）：设V=P2[x]为所有次数≤2的多项式构成的空间，线性变换T(f(x))=f(x)−f'(x)。求ker(T)与im(T)。
解：
• ker(T)：T(f)=0 ⇒ f(x)=f'(x) ⇒ f(x)=Cex，但ex∉P₂[x]，故ker(T)={0}
• im(T)：对任意f(x)=ax²+bx+c∈P₂[x]，令g(x)=ax²+(b+2a)x+(c+b+2a)，则
T(g)=g−g' = ax²+bx+c = f(x)
⇒ im(T)=P₂[x]（满射）
结论：T是单射且满射，故为同构变换。