在2022年考研数学一真题中，第19题是一道典型的多变量函数极值问题，考查了考生对函数极值、约束条件以及极值判定方法的综合运用能力。该题涉及多元函数的极值问题，不仅要求考生掌握函数的定义域和连续性，还需运用拉格朗日乘数法、偏导数法等工具，以判断极值是否存在及类型。题目设计注重考察考生对数学概念的深入理解和灵活运用，同时要求考生具备严谨的逻辑推理能力。由于题目难度适中，但涉及多个知识点的整合，因此成为考生备考中的重点难点。易搜职考网作为专注于考研数学一真题研究的专业平台，多年来持续跟踪该题的变化趋势，结合历年真题与考试大纲，为考生提供系统的解析和备考策略。

<strong class="jv-strong-01">2022考研数学一真题19题</strong>解析  
2022年考研数学一真题19题是关于多元函数极值的综合题，题目内容如下：  
设函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 </br>- 2xy $，在区域 $ D = {(x, y) | x^2 + y^2 leq 4} $ 上求函数 $ f(x, y) $ 的极值。

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 </br>一、题干分析与题型判断  
本题属于多元函数极值问题，考查内容包括函数的定义域、连续性、极值判定方法（如拉格朗日乘数法、二阶导数法）以及约束条件下的极值问题。题目要求在给定区域 $ D $ 上求函数 $ f(x, y) $ 的极值，属于典型的优化问题。

题目的设计逻辑清晰，通过引入约束条件 $ x^2 + y^2 leq 4 $，将问题转化为在闭区域上的极值问题，这是考查考生对极值判定方法掌握程度的关键。

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 </br>二、函数的定义域与连续性  
函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 </br>- 2xy $ 是一个多项式函数，其在定义域 $ mathbb{R}^2 $ 上处处连续，且具有连续偏导数。<br>也是因为这些，该函数在闭区域 $ D $ 上具有极值。

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 </br>三、极值的判定方法  
在闭区域 $ D $ 上，函数 $ f(x, y) $ 的极值可能存在，可以通过以下方法进行判定：

</br>1.开区域内的极值：在开区域 $ D^circ $ 内，若函数在某点处有极值，则其偏导数为零，即 $ nabla f = 0 $。
</br>2.闭区域上的极值：若函数在闭区域 $ D $ 上有极值，则极值点可能出现在以下位置：
   </br>- 极值点在开区域内的极值点；
   </br>- 极值点在闭区域的边界上。

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 </br>四、极值点的求解过程  

 </br>1.求偏导数  
计算函数 $ f(x, y) $ 的偏导数：

$$
frac{partial f}{partial x} = 2x </br>- 2y \
frac{partial f}{partial y} = 2y </br>- 2x
$$

令偏导数为零，解方程组：

$$
2x </br>- 2y = 0 quad text{(1)} \
2y </br>- 2x = 0 quad text{(2)}
$$

由 (1) 和 (2) 可得：

$$
x = y
$$

将 $ x = y $ 代入任一方程，例如 (1) 得：

$$
2x </br>- 2x = 0 Rightarrow 0 = 0
$$

也是因为这些，函数在点 $ (x, x) $ 处有极值点。

 </br>2.判断极值类型  
为了判断该点是否为极值点，需计算二阶偏导数，并构造泰勒展开式：

$$
f(x, y) = x^2 + y^2 </br>- 2xy \
f_{xx} = 2 \
f_{yy} = 2 \
f_{xy} = -2
$$

计算判别式 $ D = f_{xx}f_{yy} </br>- (f_{xy})^2 = 2 times 2 </br>- (-2)^2 = 4 </br>- 4 = 0 $

由于 $ D = 0 $，该点为不定极值点，无法确定是极大值还是极小值。

也是因为这些，该函数在开区域内的极值点为不定极值点，需进一步分析。

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 </br>五、极值点在闭区域的边界上  

由于闭区域 $ D = {(x, y) | x^2 + y^2 leq 4} $ 是一个闭合区域，因此极值点可能出现在边界上。边界为圆 $ x^2 + y^2 = 4 $。

我们可以将问题转化为在圆上求极值，即求函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 </br>- 2xy $ 在圆 $ x^2 + y^2 = 4 $ 上的极值。

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 </br>六、边界上的极值求解  

在圆 $ x^2 + y^2 = 4 $ 上，可以使用极坐标法或参数化法求极值。

 </br>1.参数化法  
令 $ x = 2costheta $，$ y = 2sintheta $，代入函数：

$$
f(x, y) = (2costheta)^2 + (2sintheta)^2 </br>- 2(2costheta)(2sintheta) = 4 </br>- 8costhetasintheta
$$

利用三角恒等式 $ sin(2theta) = 2sinthetacostheta $，得：

$$
f(x, y) = 4 </br>- 4sin(2theta)
$$

也是因为这些，$ f(x, y) $ 的最大值和最小值出现在 $ sin(2theta) $ 的极值处，即：

</br>- 最大值：当 $ sin(2theta) = -1 $ 时，$ f(x, y) = 4 </br>- 4(-1) = 8 $
</br>- 最小值：当 $ sin(2theta) = 1 $ 时，$ f(x, y) = 4 </br>- 4(1) = 0 $

也是因为这些，在边界上，函数 $ f(x, y) $ 的最大值为 8，最小值为 0。

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 </br>七、结论  

：

</br>- 在开区域 $ D^circ $ 内，函数 $ f(x, y) $ 无极值；
</br>- 在闭区域 $ D $ 上，函数 $ f(x, y) $ 在边界上达到最大值 8，最小值 0。

也是因为这些，函数 $ f(x, y) $ 在闭区域 $ D $ 上的极值为最小值 0，最大值 8。

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 </br>八、易搜职考网的备考建议  

易搜职考网作为专注于考研数学一真题研究的专业平台，多年来持续跟踪2022年考研数学一真题，并结合历年真题与考试大纲，为考生提供系统而详细的解析。该题作为一道典型的极值问题，不仅考查考生对多元函数极值的掌握，也要求考生具备在闭区域上进行极值判定的能力。考生在备考过程中，应重点掌握函数的定义域、连续性、极值判定方法，以及在闭区域上的极值分析方法。

易搜职考网建议考生在备考时，结合真题进行反复练习，熟悉题型变化，提升解题速度与准确性，从而在考试中取得优异成绩。

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 </br>九、归结起来说  

2022年考研数学一真题19题是一道关于多元函数极值的综合性问题，考查了考生对极值判定方法的掌握，以及在闭区域上进行极值分析的能力。通过分析函数的定义、偏导数、二阶导数，以及边界上的极值，考生可以准确求解该题。易搜职考网将持续关注该题的变化趋势，为考生提供更精准的备考建议，助力考生高效备考，取得理想成绩。