题目背景与深度分析
在2021年考研数学一试卷中，2021考研数学一第10题是一个极具代表性的多变量微积分问题。该题不仅考查了考生对多元函数极值的基本判断能力，更深入考察了对偏导数、梯度概念的理解，以及如何灵活运用拉格朗日乘数法进行约束优化。这道题在整份试卷中具有较高的区分度，是考生在复习过程中必须重点突破的难点之一。它要求考生不仅要具备扎实的理论基础，还需要拥有良好的逻辑推理能力和数学建模思维。
- 2021考研数学一第10题：本题的核心载体，考查多元函数在闭区域上的极值求解。
- 多元函数极值：考查函数在多维空间中的最大值与最小值判断。
- 偏导数：求解极值点的关键工具，用于定位临界点。
- 梯度：描述函数变化率的最大方向，辅助理解极值性质。
- 拉格朗日乘数法：处理约束条件下极值问题的强大数学工具。
- 数学建模：将实际问题抽象为数学模型，求解最优解。
本题的核心在于理解函数的极值条件、偏导数与梯度的概念，以及如何应用拉格朗日乘数法进行优化。题目给出的函数为 ，定义域为闭区域 。这个区域是一个单位圆盘，包括边界。这种设定要求考生必须同时考虑区域内部的临界点和边界上的极值点，是考研数学中非常经典的“内部+边界”双重考察模式。
核心知识点归结
为了彻底吃透2021考研数学一第10题，我们需要将其背后的知识点进行系统梳理。这不仅是为了解决这一道题，更是为了掌握一类问题的解法。
多元函数极值的判断方法
在闭区域上，函数的极值必定出现在以下三种情况之一：首先是临界点，即函数的一阶偏导数同时为零的点；其次是边界上的极值点，即函数在区域边界曲线上的最大值或最小值；最后是区域内部的驻点或不可导点。对于2021考研数学一第10题，我们需要分别计算内部临界点和边界极值，然后进行比较，从而确定全局极值。
这种方法论适用于所有闭区域上的多元函数极值问题。关键在于不要遗漏任何一类可能的极值点。很多考生容易只关注内部临界点，而忽略了边界，导致失分。因此，建立“内部+边界”的双重检查机制是解题的关键。
二阶导数判别法详解
二阶导数判别法（Hessian矩阵）是判断临界点性质的重要工具。对于二元函数 ，我们计算判别式 。如果 且 ，则为极小值；如果 且 ，则为极大值；如果 ，则为鞍点；如果 ，则判别法失效，需要进一步分析。
在2021考研数学一第10题中，我们发现判别式 ，这意味着二阶导数判别法无法直接确定极值类型。这种情况在考研中并不罕见，它要求考生具备更强的分析能力，可能需要结合函数的几何意义或进一步的高阶导数分析来判断。这体现了考研数学对考生综合素质的考查。
边界极值的处理技巧
处理边界极值通常有两种方法：参数化法和拉格朗日乘数法。参数化法是将边界曲线用参数方程表示，转化为单变量函数的极值问题。拉格朗日乘数法则引入拉格朗日函数，将约束优化问题转化为无约束优化问题。
对于2021考研数学一第10题，边界是圆 ，我们可以使用参数化方法，设 ，将问题转化为关于 的单变量函数极值问题。这种方法直观且易于计算。当然，使用拉格朗日乘数法也是可行的，但计算量可能稍大。考生应根据自身熟练度选择合适的方法。
详细解题步骤
第一步：函数简化与定义域分析
首先，我们将函数 进行因式分解，得到 。这一简化极大地降低了后续计算的复杂度。函数 是一个关于 和 的平方函数，其图像为一个抛物面，开口向上。由于题目中给出的区域是闭区域 ，这是一个单位圆盘，函数在该区域上是连续的，并且具有连续偏导数。根据极值定理，连续函数在闭区域上必定存在最大值和最小值。
第二步：求解内部临界点
我们需要求出函数在区域内部的临界点。计算一阶偏导数：
令偏导数为零，得到方程组：
这表明，在直线 上的所有点都是临界点。然而，我们需要检查这些点是否在区域 内部。直线 穿过原点，而原点在单位圆盘内部。因此，直线 与单位圆盘的交集部分都是候选的临界点。具体而言，线段 即 上的所有点都是临界点。
接下来，我们使用二阶导数判别法来判断这些临界点的性质。计算二阶偏导数：
判别式 。由于 ，二阶导数判别法失效。我们需要通过观察函数表达式来判断。对于临界点 ，函数值 。由于 对所有 成立，因此 是函数的最小值。所以，线段 上的所有点都是全局极小值点，极小值为 0。
第三步：分析边界上的极值
接下来，我们考虑边界 上的极值。我们可以使用参数化方法。设 ，其中 。代入函数表达式：
现在问题转化为求函数 在 上的最大值和最小值。我们知道正弦函数 的最大值为 1，最小值为 -1。因此， 的最大值为 ，最小值为 。
最大值为 2 时，，即 ，解得 。在 范围内， 或 。
- 当 时，。
- 当 时，。
这两个点都在边界上，且函数值为 2。我们需要确认这是否是全局最大值。由于内部临界点的函数值为 0，边界上的最小值为 0，最大值为 2，因此全局最大值为 2，全局最小值为 0。
易错点提示
许多考生容易忽略内部临界点的情况，或者在计算边界极值时出现计算错误。特别是当二阶导数判别法失效时，需要更加谨慎。此外，参数化方法虽然直观，但需要熟练掌握三角恒等变换。
第四步：结论
综上所述，函数 在闭区域 上的极值为：
- 全局最小值：0，在点集 上取得。
- 全局最大值：2，在点 和 处取得。
注意：原题解析中可能存在笔误，将最小值误写为2，将最大值误写为2。根据上述严谨推导，最小值应为0，最大值应为2。考生在复习时应以严谨推导为准。
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归结起来说
2021考研数学一第10题通过对多元函数极值的分析，考查考生对函数在闭区域上极值的求解能力。该题不仅考察了对基本概念的理解，还需要考生具备良好的数学建模与分析能力。通过系统的学习与练习，考生可以有效提升解题技巧，提高考研数学一的通过率。
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