第3题：极限计算题
题目：计算极限 $lim_{x to 0} frac{sin x - x + frac{x^3}{6}}{x^5}$
原式 = $lim_{x to 0} frac{sin x - x + frac{x^3}{6}}{x^5}$
解析：
本题考查泰勒展开式的应用。$sin x$ 在 $x=0$ 处的五阶泰勒展开为：
$sin x = x - frac{x^3}{6} + frac{x^5}{120} - frac{x^7}{5040} + o(x^7)$
代入原式得：
$frac{(x - frac{x^3}{6} + frac{x^5}{120} - frac{x^7}{5040} + o(x^7)) - x + frac{x^3}{6}}{x^5} = frac{frac{x^5}{120} - frac{x^7}{5040} + o(x^7)}{x^5} = frac{1}{120} - frac{x^2}{5040} + o(x^2)$
当 $x to 0$ 时，极限为 $frac{1}{120}$。
易错点：部分考生误用洛必达法则，需连续求导5次，计算繁琐且易出错；正确使用泰勒展开可快速求解。
第12题：多元函数极值问题
题目：求函数 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4xy + 6x - 2y$ 的极值点及极值
解析：
① 求偏导数：
$f_x = 2x - 4y + 6$，$f_y = 2y - 4x - 2$
② 令偏导数为零，解方程组：
$begin{cases} 2x - 4y + 6 = 0 \ -4x + 2y - 2 = 0 end{cases}$ → $begin{cases} x - 2y = -3 \ -2x + y = 1 end{cases}$
解得：$x = frac{5}{3}$，$y = frac{7}{3}$，临界点为 $(frac{5}{3}, frac{7}{3})$
③ 二阶偏导数：$f_{xx} = 2$，$f_{yy} = 2$，$f_{xy} = -4$
判别式 $AC - B^2 = 2 times 2 - (-4)^2 = 4 - 16 = -12 < 0$
结论：该点为极大值点？不！判别式小于0，应为鞍点！
更正：重新计算：$f(x, y) = x^2 + y^2 - 4xy + 6x - 2y$
$f_x = 2x - 4y + 6$，$f_y = 2y - 4x - 2$
解得 $x = -1$，$y = 1$（代入验证：$2(-1) - 4(1) + 6 = 0$，$2(1) - 4(-1) - 2 = 4 ≠ 0$ → 错误）
正确解法：由 $2x - 4y = -6$ 得 $x = 2y - 3$，代入第二式：$2y - 4(2y - 3) - 2 = 2y - 8y + 12 - 2 = -6y + 10 = 0$ → $y = frac{5}{3}$，$x = 2 times frac{5}{3} - 3 = frac{1}{3}$
临界点 $(frac{1}{3}, frac{5}{3})$
$f_{xx} = 2$，$f_{yy} = 2$，$f_{xy} = -4$，$AC - B^2 = 4 - 16 = -12 < 0$ → 鞍点，无极值。
真题答案：经复核，2021年真题中该题函数为 $f(x,y)=x^2+y^2-2xy+6x-2y$，则 $f_{xy}=-2$，$AC-B^2=4-4=0$，需用定义判断。本解析按常见题型演示方法。
第15题：定积分的几何应用
题目：设曲线 $y = sqrt{x}$ 与直线 $x = a$ 及 $x$ 轴围成平面区域 $D$，将 $D$ 分为面积相等的两部分的直线 $x = t$，求 $t$ 的值。
总面积 $S = int_0^a sqrt{x} , dx = frac{2}{3}a^{3/2}$
解析：
由题意，$int_0^t sqrt{x} , dx = frac{1}{2} times frac{2}{3}a^{3/2} = frac{1}{3}a^{3/2}$
计算左边：$int_0^t x^{1/2} , dx = frac{2}{3}t^{3/2}$
所以 $frac{2}{3}t^{3/2} = frac{1}{3}a^{3/2}$ → $2t^{3/2} = a^{3/2}$ → $t^{3/2} = frac{1}{2}a^{3/2}$
两边同乘 $frac{2}{3}$ 得 $t = left(frac{1}{2}right)^{2/3} a = frac{a}{sqrt[3]{4}}$
答案：$t = a cdot 2^{-2/3} = a cdot frac{sqrt[3]{2}}{2}$
技巧：此类问题关键是建立积分等式，注意变量上下限的对应关系。
第7题：向量组线性相关性
题目：设向量组 $alpha_1 = (1, 2, 0)$，$alpha_2 = (0, 1, 1)$，$alpha_3 = (1, 0, 1)$，判断其线性相关性。
解析：
构造矩阵 $A = (alpha_1, alpha_2, alpha_3) = begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 2 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 end{bmatrix}$
计算行列式：
$|A| = 1 times begin{vmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 end{vmatrix} - 0 + 1 times begin{vmatrix} 2 & 1 \ 0 & 1 end{vmatrix} = 1 times 1 + 1 times 2 = 3 neq 0$
结论：行列式非零，向量组线性无关。
拓展：若 $alpha_3 = (1, 1, 1)$，则 $|A| = 1 times (1 times 1 - 1 times 1) - 0 + 1 times (2 times 1 - 1 times 0) = 0 + 2 = 2 neq 0$，仍线性无关；若 $alpha_3 = alpha_1 + alpha_2 = (1,3,1)$，则第三列为前两列之和，行列式为0，线性相关。
第18题：二次型标准形
题目：设二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$，求其正惯性指数及标准形。
解析：
对应矩阵 $A = begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 2 end{bmatrix}$
特征方程：$|A - lambda I| = begin{vmatrix} 2-lambda & 1 & 1 \ 1 & 2-lambda & 1 \ 1 & 1 & 2-lambda end{vmatrix} = 0$
行列式计算：将第2、3列加到第1列：
$= begin{vmatrix} 4+lambda & 1 & 1 \ 4+lambda & 2-lambda & 1 \ 4+lambda & 1 & 2-lambda end{vmatrix} = (4+lambda) begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 2-lambda & 1 \ 1 & 1 & 2-lambda end{vmatrix}$
再列变换：第2、3列减第1列：
$= (4+lambda) begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \ 1 & 1-lambda & 0 \ 1 & 0 & 1-lambda end{vmatrix} = (4+lambda)(1-lambda)^2$
特征值：$lambda_1 = -4$，$lambda_2 = lambda_3 = 1$
正惯性指数：正特征值个数 = 2
标准形：$f = -4y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$
注：本题也可用配方法：$f = (x_1+x_2+x_3)^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$，但需注意符号。
第20题：微分方程与经济应用结合
题目：设某商品需求函数为 $Q = 100 - 2P$，成本函数为 $C(Q) = 50 + 2Q + 0.01Q^2$，假设价格 $P$ 是时间 $t$ 的函数，且 $frac{dP}{dt} = k(P - P^)$，其中 $P^$ 为均衡价格，求利润最大时的价格调整速度 $k$ 的取值范围。
解析：
① 需求函数：$Q = 100 - 2P$ → $P = 50 - frac{Q}{2}$
收入函数：$R = PQ = (50 - frac{Q}{2})Q = 50Q - frac{Q^2}{2}$
利润函数：$pi(Q) = R - C = (50Q - frac{Q^2}{2}) - (50 + 2Q + 0.01Q^2) = 48Q - 0.51Q^2 - 50$
② 利润最大化：$frac{dpi}{dQ} = 48 - 1.02Q = 0$ → $Q^ = frac{48}{1.02} = frac{800}{17} approx 47.06$
均衡价格：$P^ = 50 - frac{1}{2} times frac{800}{17} = 50 - frac{400}{17} = frac{450}{17} approx 26.47$
③ 价格动态：$frac{dP}{dt} = k(P - P^)$，这是线性微分方程
通解：$P(t) = P^ + Ce^{kt}$
为使价格收敛到 $P^$，需 $k < 0$
结论：$k$ 的取值范围为 $(-infty, 0)$
经济学意义：
第21题：定积分证明题
题目：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0) = 0$，$f(1) = 1$，证明：存在 $xi in (0,1)$，使得 $f'(xi) = frac{1}{2sqrt{xi}}$。
解析：
构造辅助函数：令 $F(x) = f(x) - sqrt{x}$
则 $F(0) = f(0) - 0 = 0$，$F(1) = f(1) - 1 = 0$
由罗尔定理，存在 $xi in (0,1)$，使得 $F'(xi) = 0$
即 $f'(xi) - frac{1}{2sqrt{xi}} = 0$ → $f'(xi) = frac{1}{2sqrt{xi}}$
关键：观察结论形式，$frac{1}{2sqrt{xi}}$ 是 $sqrt{x}$ 的导数，自然联想到构造差函数。
拓展：若结论为 $f'(xi) = frac{1}{xi+1}$，可考虑 $F(x) = f(x) - ln(x+1)$；若为 $f'(xi) = e^xi$，则 $F(x) = f(x) - e^x$。