2021年考研数学一真题及答案｜深度解析｜命题趋势｜备考指南

线性代数：抽象与计算并重，逻辑链条要严密

年线性代数共5题（选择3+填空1+解答1），涉及向量、矩阵、行列式、线性方程组、特征值与二次型。

【选择第7题】 设A为3阶矩阵，α₁,α₂,α₃为线性无关向量组，若Aα₁ = α₂ + α₃，Aα₂ = α₁ + α₃，Aα₃ = α₁ + α₂，则|A| = ________。

解析：构造矩阵P = [α₁,α₂,α₃]，则AP = [Aα₁, Aα₂, Aα₃] = P B，其中

B = 〈1 1 0〉 〈1 0 1〉 〈0 1 1〉

因α₁,α₂,α₃线性无关 ⇒ |P|≠0，故A = PBP⁻¹ ⇒ |A| = |B|。

|B| = 1·(0·1−1·1) − 1·(1·1−1·0) + 0 = −1 −1 = −2。答案：−2。

核心思想：利用相似变换将抽象矩阵运算转化为具体矩阵求行列式。

【填空第14题】 设A = 〈1 2 3〉 〈2 a 4〉 〈3 4 5〉，且r(A) = 2，则a = ________。

解：对A作初等行变换：

〈1 2 3〉 〈0 a−4 −2〉 〈0 −2 −4〉

因r(A)=2，第三行应为前两行线性组合 ⇒ 行列式|A|=0，直接计算：

|A| = 1·(a·5−4·4) − 2·(2·5−4·3) + 3·(2·4−a·3) = 5a−16 −2·(−2) + 3·(8−3a) = 5a−16+4+24−9a = −4a+12

令−4a+12=0 ⇒ a=3。

对比：若用秩条件，需使|a−4 −2; −2 −4| ≠ 0且所有3阶子式为0 ⇒ 同得a=3。

【解答第21题】 设A = 〈2 0 0〉 〈1 1 0〉 〈1 0 b−1〉，B = 〈2 0 0〉 〈0 1 0〉 〈0 0 b〉，问：A与B是否相似？若相似，求可逆矩阵P使P⁻¹AP = B。

解：先求特征值：

|λI−A| = (λ−2)(λ−1)² ⇒ λ₁=2, λ₂=λ₃=1；

|λI−B| = (λ−2)(λ−1)² ⇒ 相同特征值。

当b≠1时，A对应λ=1的特征向量个数：r(A−I) = r〈1 0 0〉 〈1 0 0〉 〈1 0 b−1〉 = 2 ⇒ n−r=1，重数2但几何重数1 ⇒ 不相似；

当b=1时，A = 〈2 0 0〉 〈1 1 0〉 〈1 0 0〉，A−I =〈1 0 0〉 〈1 0 0〉 〈1 0 −1〉，r=2，仍只1个特征向量？
错！重新算：A−I =〈1 0 0〉 〈1 0 0〉 〈1 0 0〉 ⇒ r=1 ⇒ n−r=2，几何重数=2，等于代数重数 ⇒ 可对角化。

此时A与B均相似于diag(2,1,1) ⇒ 相似。

取A的特征向量：λ=2：解(A−2I)x=0得ξ₁=[0,0,1]ᵀ；
λ=1：解(A−I)x=0得x₁=0，自由变量x₂,x₃ ⇒ ξ₂=[0,1,0]ᵀ，ξ₃=[0,0,0]?错！
A−I =〈1 0 0〉 〈1 0 0〉 〈1 0 0〉 ⇒ 方程：x₁=0，无其他约束 ⇒ 解为[0, x₂, x₃]ᵀ ⇒ 两线性无关解：[0,1,0]ᵀ，[0,0,1]ᵀ，但[0,0,1]ᵀ已用于λ=2！

修正：当b=1时，A =〈2 0 0〉 〈1 1 0〉 〈1 0 0〉，则Aξ₂ = ξ₂？
取ξ₂=[0,1,0]ᵀ：Aξ₂=[0,1,0]ᵀ=ξ₂，是；
取ξ₃=[0,0,1]ᵀ：Aξ₃=[0,0,0]ᵀ≠ξ₃，不是λ=1的特征向量！

正确做法：A−I =〈1 0 0〉 〈1 0 0〉 〈1 0 0〉，齐次方程x₁=0，通解x = x₂[0,1,0]ᵀ + x₃[0,0,1]ᵀ，但需验证：
A[0,0,1]ᵀ = [0,0,0]ᵀ = 0·[0,0,1]ᵀ ⇒ 实际是λ=0的特征向量？！

错误根源：原矩阵A第三行第三列是b−1，当b=1时为0，故A =〈2 0 0〉 〈1 1 0〉 〈1 0 0〉，其特征值应为2,1,0！与B的2,1,1不同 ⇒ 不相似！

正解：仅当b=1且A经修正后与B特征值一致时才相似。本题b需满足B的λ=1二重，故b=1，但A当b=1时特征值为2,1,0，矛盾 ⇒ 不存在这样的b使A与B相似。

标准答案：不相似。因A的特征值为2,1,b−1（由上三角得），要与B的2,1,b相同，需b−1=b ⇒ 无解。故A与B永远不相似。

启示：特征值是相似的必要条件，优先判断！本题无需进一步求P。

概率统计：重分布、强应用，数理统计是难点

年概率统计共5题（选择3+填空1+解答1），涵盖随机变量分布、数字特征、大数定律、中心极限定理、参数估计、假设检验。

【选择第9题】 设X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体X∼N(μ,σ²)的简单随机样本，S²为样本方差，则D(S²) = ________。

解析：已知(n−1)S²/σ² ∼ χ²(n−1)，而χ²(k)的方差为2k，故

D[(n−1)S²/σ²] = 2(n−1)

⇒ (n−1)²/σ⁴ · D(S²) = 2(n−1)

⇒ D(S²) = 2σ⁴/(n−1)

关键：掌握卡方分布的方差公式及样本方差与卡方分布的联系。

【填空第15题】 设X₁,X₂,X₃,X₄为来自总体N(0,4)的简单随机样本，统计量Y = (X₁−X₂)² + (X₃+X₄)²，当Y ∼ χ²(k)时，k = ________。

解：X₁−X₂ ∼ N(0, 4+4) = N(0,8) ⇒ (X₁−X₂)/√8 ∼ N(0,1) ⇒ [(X₁−X₂)/√8]² ∼ χ²(1)

X₃+X₄ ∼ N(0,4+4) = N(0,8) ⇒ 同理，[(X₃+X₄)/√8]² ∼ χ²(1)

且两部分独立 ⇒ Y/8 = [(X₁−X₂)² + (X₃+X₄)²]/8 ∼ χ²(2)

但题目说Y ∼ χ²(k) ⇒ Y = 8·Z，其中Z∼χ²(2)，而c·χ²(k)仅当c=1时仍为卡方分布 ⇒ 矛盾？

修正：应为Y/8 ∼ χ²(2)，但题目明确Y ∼ χ²(k)，故需Y = Z₁² + Z₂²，其中Z₁,Z₂∼N(0,1)独立。

令Z₁ = (X₁−X₂)/a，则D(Z₁) = D(X₁−X₂)/a² = 8/a² = 1 ⇒ a=√8，同理Z₂=(X₃+X₄)/√8，故Y = 8Z₁² + 8Z₂² = 8(Z₁²+Z₂²)，不等于χ²(k)除非k=0，不可能。

标准思路：若Y = aU + bV且U,V∼χ²(1)独立，则Y服从自由度为2的卡方分布仅当a=b=1。本题中Y = (X₁−X₂)² + (X₃+X₄)² = 8Z₁² + 8Z₂²，要使其为χ²(k)，需8Z₁² = Z₁'²，即Z₁' = √8 Z₁ ∼ N(0,8)，但χ²分布要求标准正态平方和，故Y不直接服从卡方分布，除非题目隐含Y/8 ∼ χ²(2)。

命题本意：忽略比例因子，仅看平方和结构。因X₁−X₂与X₃+X₄独立同分布于N(0,8)，标准化后得两个独立N(0,1)，故[(X₁−X₂)² + (X₃+X₄)²]/8 ∼ χ²(2)。题目说Y ∼ χ²(k)应为笔误，实际应为Y/8 ∼ χ²(k)，故k=2。按考试惯例，答案填：2。

【解答第22题】 设总体X的概率密度为f(x;θ) = { θx^{θ−1}, 0 0, 其他，其中θ>0未知，X₁,…,Xₙ为样本，Y = min{X₁,…,Xₙ}。求：
(1) Y的分布函数；
(2) 是否存在常数a使aY为θ的无偏估计？

解：(1) 先求X的分布函数：F(x;θ) = { 0, x≤0; x^θ, 0 1, x≥1

则P(Y > y) = P(X₁>y, …, Xₙ>y) = [1−F(y;θ)]ⁿ

⇒ F_Y(y) = P(Y ≤ y) = 1 − [1−F(y;θ)]ⁿ = { 0, y≤0; 1 − (1−y^θ)ⁿ, 0 1, y≥1

求E(Y)：f_Y(y) = F_Y'(y) = n(1−y^θ)^{n−1} · θy^{θ−1}

E(Y) = ∫₀¹ y · nθ y^{θ−1} (1−y^θ)^{n−1} dy = nθ ∫₀¹ y^θ (1−y^θ)^{n−1} dy

令u = y^θ ⇒ y = u^{1/θ}，dy = (1/θ)u^{1/θ −1} du

⇒ E(Y) = nθ ∫₀¹ u · (1−u)^{n−1} · (1/θ)u^{1/θ −1} du = n ∫₀¹ u^{1/θ} (1−u)^{n−1} du

= n · B(1/θ + 1, n) = n · Γ(1/θ + 1)Γ(n) / Γ(1/θ + 1 + n)

由Γ(k+1)=kΓ(k)，得Γ(1/θ + 1 + n) = (1/θ + n)Γ(1/θ + n) = … = (1/θ + n)(1/θ + n−1)…(1/θ)Γ(1/θ)

而Γ(1/θ + 1) = (1/θ)Γ(1/θ)，故

E(Y) = n · [(1/θ)Γ(1/θ)] · (n−1)! / [ (1/θ + n)(1/θ + n−1)…(1/θ)Γ(1/θ) ] = n! / [ (1/θ + n)(1/θ + n−1)…(1/θ + 1) ]

当n=1时，E(Y) = 1 / (1/θ + 1) = θ/(θ+1)

故E[(θ+1)Y] = θ，即a = θ+1？但a应为常数，与θ无关 ⇒ 不存在与θ无关的a使aY无偏。

结论：不存在。

易错点：误认为E(Y)为θ的线性函数，实则为非线性有理式。